如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ABC的中点,PD切圆O于点D,连接CD交AB于点E求证（1）PD=PE（2）PE^2=PA*PB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/29 06:46:09
如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ABC的中点,PD切圆O于点D,连接CD交AB于点E求证（1）PD=PE（2）PE^2=PA*PB
如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ABC的中点,PD切圆O于点D,连接CD交AB于点E
求证（1）PD=PE
（2）PE^2=PA*PB
如图,AB是圆O的直径,P为AB延长线上任意一点,C为半圆ABC的中点,PD切圆O于点D,连接CD交AB于点E求证（1）PD=PE（2）PE^2=PA*PB
如图：对于三角形BDP和三角形DAP：
角P=角P,由于角BDP+角ODB=90°,角ODB+角ADO=90° 所以角BDP=角ODA=角OAD 所以
三角形BDP和三角形DAP相似.
所以 PA/PD=PD/PB
故PA*PB=PD^2 下只要证明PD=PE即可.
因为C 是半圆的重点,有CA=CB,故角COE=90°,则角OCE+角CEO=90°,即角PED+角ED0=90°,而角PDE++角ED0=90°所以角PDE=角PED 所以三角形PDE是等腰三角形,PE=PD.
所以证得.
1.中点
EOC=ODP=90
OC=OD, OCE=ODE
PDO=CEO=PED
PE=PD
2.割线定理，PD*PD=PA*PB
证明：
1、连接OC、OD
∵AB为直径，C为半圆ABC的中点
∴OC⊥AB
∴∠OCD+∠OEC＝90
∵∠DEP＝∠OEC
∴∠OCD+∠DEP＝90
∵OC＝OD
∴∠OCD＝∠ODC
∴∠ODC+∠DEP＝90
∵PD切圆O于点D
∴∠ODC+∠EDP＝90
∴∠DEP＝∠EDP
∴PD...
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证明：
1、连接OC、OD
∵AB为直径，C为半圆ABC的中点
∴OC⊥AB
∴∠OCD+∠OEC＝90
∵∠DEP＝∠OEC
∴∠OCD+∠DEP＝90
∵OC＝OD
∴∠OCD＝∠ODC
∴∠ODC+∠DEP＝90
∵PD切圆O于点D
∴∠ODC+∠EDP＝90
∴∠DEP＝∠EDP
∴PD＝PE
2、连接AD、BD
∵PD切圆O于点D
∴∠BDP+∠ODB＝90
∵OB＝OD
∴∠OBD＝∠ODB
∴∠BDP+∠OBD＝90
∵AB为直径
∴∠ADB＝90
∴∠BAD+∠OBD＝90
∴∠BAD＝∠BDP
∵∠P＝∠P
∴△PAD相似于△PDB
∴PD/PA＝PB/PD
∴PD²＝PA.•PB
∵PE＝PD
∴PE²＝PA.•PB
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