12个大小相同的球,其中一个重量和其他11个不一样,用一个天平3秤找出那个球!必须3秤,并且要确定它是比其他11个球重还是轻?

12个大小相同的球,其中一个重量和其他11个不一样,用一个天平3秤找出那个球!必须3秤,并且要确定它是比其他11个球重还是轻?
12个大小相同的球,其中一个重量和其他11个不一样,用一个天平3秤找出那个球!
必须3秤,并且要确定它是比其他11个球重还是轻?

12个大小相同的球,其中一个重量和其他11个不一样,用一个天平3秤找出那个球!必须3秤,并且要确定它是比其他11个球重还是轻?
这道题有多种解法,个人认为比较简单的解法如下：
把12个球分成三组,用天平称其中两组.只有两种可能：1、平衡；2、不平衡
1、不平衡
不平衡的话,则坏球必在这两组内.
设轻的一组球是A组,重的是B组,组内的球简称A球和B球.
从A组B组各取一球与未称过的第三组中的两只球组成一组4球C组,再从A组B组各取两球组成一组4球D组,这时A组B组各剩下一个球.用天平称C、D两组.有三种结果：
甲、平衡：这时坏球必在A组B组各剩下的那一个球里,取A组剩下的那球与C、D组任意正常球相称,如平衡,则坏球为B组剩下的那球,是超重球；如不平衡,则坏球为A组剩下的球,是轻球.判断结束.
乙、C重D轻：这时问题球在C组的B球或者D组的两个A球.取D组里的两个A球互相称量,如平衡,则问题球为C组的B球,是重球；如不平衡,则问题球就是那个轻球.判断结束.
丙、C轻D重：这时问题球在C组的A球或者D组的两个B球.取D组里的两个B球互相称量,如平衡,则问题球为C组的A球,是轻球；如不平衡,则问题球就是那个重球.判断结束.
2、平衡
这时,坏球必在未称的第三组,命名为X组.
从X组取一个球和一个称过的正常球组成A组,再取两个X球为B组,互相称量.得三种结果：
甲、平衡：这时坏球必为X组剩下的那一个球.这样称两次,判断就可以结束.如果想知道坏球是轻是重,则将其与其他任意球相称即可.
乙、A重B轻：这时问题球在A组的一个X球或者B组的两个X球.取B组里的两个X球互相称量,如平衡,则问题球为A组的X球,是重球；如不平衡,则问题球就是那个轻球.判断结束.
丙、A轻B重：这时问题球也在A组的一个X球或者B组的两个X球.取B组里的两个X球互相称量,如平衡,则问题球为A组的X球,是轻球；如不平衡,则问题球就是那个重球.判断结束.

12个球称3次找坏球的完美解答
古老的智力题详述:
有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。
网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这道题有13种不同的答案.这里我提出一种新的完全的数学解法:
一·首先提出称量的数学模型:
把一次称量看成一个一次代数式,同...

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12个球称3次找坏球的完美解答
古老的智力题详述:
有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。
网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这道题有13种不同的答案.这里我提出一种新的完全的数学解法:
一·首先提出称量的数学模型:
把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?
1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.
2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.
3),描述称量结果:
由1),2)已经可以确定一个称量式
∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式
如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为
j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式
例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,式子为:
(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,
从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;
同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.
4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是
∑各球的放法=0-------------------------(3)式
这样就解决了称量的数学表达问题.
对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得
J*i=b
二·称球问题的数学建模
问题的等价：
设J为3×12的矩阵，满足每行各项之和为0。i为12维列向量,i的某一项为1或－1，其他项都是0，即i是12×24的分块矩阵M=(E,-E)的任一列。而3×27的矩阵C为由27个互不相同的3维列向量构成，它的元素只能是1,0,-1.
由问题的意义可知b=J*i必定是C的某一列向量。而对于任意的i,有由J*i=b确定的b互不相同.
即
J*M=J*(E,-E)=(B,-B)=X -----（设X为3×24的矩阵）
因为X为24列共12对互偶的列向量，而C为27列，可知从C除去的3列为(0,0,0)和1对任意的互偶的列向量，这里取除(1,1,1)和(-1,-1,-1).
由上式得J*E=B推出J=B,X=(J,-J)。因此把从27个3维列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分为互偶的两组(对应取反)
[ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];
[ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1];
[ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1].
[ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];
[ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1];
[-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1].
现在通过上下对调2列令各行的各项和为0！！即可得到J.我的方法是从右到左间隔着进行上下对调，然后再把2排和3排进行上下对调，刚好所有行的和为0。得
称量矩阵J=
[0, 0, 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1];
[0, 1,-1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1];
[1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0,-1, 0, 1, 1].
相应三次称量两边的放法：
左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；
左边2，9，10，12：右边3，4，8，11；
左边1，4，11，12：右边3，6，7，9 。
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1号球，且重 －平、平、左 1号球，且轻 －平、平、右
2号球，且重 －平、左、平 2号球，且轻 －平、右、平
3号球，且重 －平、右、右 3号球，且轻 －平、左、左
4号球，且重 －平、右、左 4号球，且轻 －平、左、右
5号球，且重 －左、平、平 5号球，且轻 －右、平、平
6号球，且重 －右、平、右 6号球，且轻 －左、平、左
7号球，且重 －左、平、右 7号球，且轻 －右、平、左
8号球，且重 －右、右、平 8号球，且轻 －左、左、平
9号球，且重 －左、左、右 9号球，且轻 －右、右、左
10号球，且重－右、左、平 10号球，且轻－左、右、平
11号球，且重－左、右、左 11号球，且轻－右、左、平
12号球，且重－右、左、左 12号球，且轻－左、右、右
三·问题延伸
1，13个球称3次的问题：
从上面的解答中被除去的3个向量为(0,0,0)(1,1,1)(-1,-1,-1).而要能判断第13个球，必须加入1对对偶向量，如果加入的是(1,1,1)(-1,-1,-1),则
[ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1，1];
[ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1，1];
[ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1，1].
[ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];
[ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1,-1];
[-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1,-1].
第一行的非0个数为奇数，不论怎么调也无法使行和为0。故加入的行只能为自对偶列向量(0,0,0),结果是异球可判断是否是第13球时却无法检查轻重。也可见，13球称3次的问题和12球称3次的问题只是稍有不同，就如12个球问题把球分3组4个称，而13个球问题把球分4组(4,4,4,1),第13个球单独1组。
2，(3^N-3)/2个球称N次找出异球且确定轻重的通
第一步，先给出3个球称2次的一个称量矩阵J2
[ 0, 1,-1];
[-1, 0, 1].
第二步，设Kn=(3^N-3)/2个球称N次的称量矩阵为N行×Kn列的矩阵Jn,把(3^N/3-3)/2个球称N-1次的称量矩阵J简写为J.再设N维列向量Xn,Yn,Zn分别为(0,1,1,...,1),(1,0,0,...,0),(1,-1,-1,...,-1).
第三步之1，在N-1行的矩阵J上面添加1行各项为0，成新的矩阵J'.
第三步之2，在N-1行的矩阵J上面,添加行向量t=(1,1,...,1,-1,-1,...,-1),成新的矩阵J".t的维(长)和J的列数一致，t的前面各项都是1，后面各项都是－1；t的长为偶数时，1个数和－1个数相等；t的长为奇数时，1个数比－1个数少1个；
第三步之3，在N-1行的矩阵-J上面,添加行向量t=(1,1,...,1,-1,-1,...,-1),成新的矩阵J"'.
第四步，当J的列数即t的长为奇数时，用分块矩阵表示矩阵Jn＝(J',J",J"',Xn,Yn,Zn);当J的列数即t的长为偶数时，用分块矩阵表示矩阵Jn＝(J',J",J"',Xn,-Yn,Zn);
此法可以速求出一个J3为
[ 0, 0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1];
[ 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1];
[-1, 0, 1, -1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1].
同样可以继续代入求出J4,J5的称量矩阵。
3，2类主要的推广：
第1类，有(3^n-3)/2个球，其中有一个异球，用天平称n次，找出该球并确定是较轻还是较重。
第2类， 有n个球，其中混入了m个另一种规格的球，但是不知道异球比标球重还是轻，称k次把他们分开并确定轻重？ 显然，上面的推广将球分为了两种，再推广为将球分为n种时求称法。
对于第一类推广，上面已经给出了梯推的通解式。而对于第二类推广，仅对于m=2时的几个简单情况有了初步的了解，如5个球称3次找出2个相同的异球，9个球称4次找出2个相同的异球，已经获得了推理逻辑方法上的解决，但是在矩阵方法上仍未理出头绪，16个球称5次找出2个相同的异球问题上普通的逻辑方法变得非常烦琐以至未知是否有解，希望有高手能继续用矩阵方法找出答案，最好能获得m=2时的递推式。
上面的通解法得到的J4=
[ 0,0, 0, 0, 0, 0,0, 0, 0,0,0, 0, 1,1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1, 1, 1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,0,-1, 1];
[ 0,0, 0, 1,-1,-1,1,-1,-1,0,1, 1, 0,0, 0, 1,-1,-1, 1,-1,-1, 0, 1, 1,0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1, 1, 0,-1,-1,1, 0,-1];
[ 0,1,-1, 0, 1,-1,0,-1, 1,1,0,-1, 0,1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 1, 1, 0,-1,0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1,-1,-1, 0, 1,1, 0,-1];
[-1,0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1,1,0,-1,-1,0, 1,-1, 0, 1, 1, 0,-1, 1, 0,-1,1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0, 1,-1, 0, 1,1, 0,-1].
real_bout的答案相当于下面此矩阵(行不能对换，不能整体称量)：
[1, 1, 1, 1,-1,-1,-1,-1, 0, 0, 0, 0]
[1, 1,-1,-1, 1,-1, 0, 0, 1,-1,-1, 0]
[1,-1, 1,-1, 0, 0,-1, 0, 0, 1,-1,-1]
回答者：minimose - 见习魔法师 二级 11-1 12:58
提问者对于答案的评价：
高手嘛！本想取2个答案的，一个是你的还一个是real_bout - 秀才 二级的答案，但。。。还是谢谢你们
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其他回答共 26 条
的确是高人啊！
回答者：jaryzry - 试用期 一级 10-30 13:00
我的脑筋不好使了.......
回答者：李诗歌 - 千总 四级 10-30 13:01
这个题150的智商答不了,保守估计要180.本人用5小时算出来过,现将标准答案公布一下>(不仅可以知道哪个球,还能知道轻或重了)
把球编为①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩⑾⑿。（如果是13个球呢????)
第一次称：先把①②③④与⑤⑥⑦⑧放天平两边，
一如相等，说明特别球在剩下4个球中。
把①⑨与⑩⑾作第二次称量，
⒈如相等，说明⑿特别，把①与⑿作第三次称量即可判断是⑿是重还是轻
⒉如①⑨<⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个重的，要么⑨是轻的。
把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨轻，不等可找出谁是重球。
⒊如①⑨>⑩⑾说明要么是⑩⑾中有一个轻的，要么⑨是重的。
把⑩与⑾作第三次称量，如相等说明⑨重，不等可找出谁是轻球。
二如左边<右边，说明左边有轻的或右边有重的
把①②⑤与③④⑥做第二次称量
⒈如相等，说明⑦⑧中有一个重，把①与⑦作第三次称量即可判断是⑦与⑧中谁是重球
⒉如①②⑤<③④⑥说明要么是①②中有一个轻的，要么⑥是重的。
把①与②作第三次称量，如相等说明⑥重，不等可找出谁是轻球。
⒊如①②⑤>③④⑥说明要么是⑤是轻的，要么③④中有一个是重的。
把③与④作第三次称量，如相等说明⑤轻，不等可找出谁是重球。
三如左边>右边，参照二相反进行。

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