一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/27 08:01:36
一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是

一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心
一道数学题,求讲解!
四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心

一道数学题,求讲解!四面体ABCD中,若点A在平面BCD上的射影是三角形BCD的垂心,则点B在平面ACD上的摄影也是三角形ACD的垂心
点A在平面BCD上的射影是H,则BH⊥CD,AH⊥CD,则CD⊥平面ABH,从而CD⊥AB.同样有AC⊥BD,AD⊥BC.设点B在平面ACD上的射影为G,则BG⊥CD,AB⊥CD,所以,CD⊥平面ABG,即AG⊥CD,同理有CG⊥AD,DG⊥AC,所以G为三角形ACD的垂心.

朋友,这是显而易见的呀!明天告诉你吧!今天太晚了。

证明:E是点A在平面BCD上的射影,那么BE⊥CD,AH⊥CD
那么CD⊥平面ABE,从而CD⊥AB。
同样AC⊥BD,AD⊥BC。
设点B在平面ACD上的射影为F,则BF⊥CD,AB⊥CD,
所以,CD⊥平面ABF,即AF⊥CD,同理有CF⊥AD,DF⊥AC,所以F为三角形ACD的垂心。