求解函数证明题证明:若对于函数f(x)(-∞<x<+∞),有等式f(x+T)=k f(x)成立.其中k,T为正的常数,则f(x)=a 的x 次方与Ψ(x)的乘积,其中a>0的常数,Ψ(x)是以T为周期的函数.

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/25 01:20:40
求解函数证明题证明:若对于函数f(x)(-∞<x<+∞),有等式f(x+T)=kf(x)成立.其中k,T为正的常数,则f(x)=a的x次方与Ψ(x)的乘积,其中a>0的常数,Ψ(x)是以T为周期的函数

求解函数证明题证明:若对于函数f(x)(-∞<x<+∞),有等式f(x+T)=k f(x)成立.其中k,T为正的常数,则f(x)=a 的x 次方与Ψ(x)的乘积,其中a>0的常数,Ψ(x)是以T为周期的函数.
求解函数证明题
证明:若对于函数f(x)(-∞<x<+∞),有等式f(x+T)=k f(x)成立.其中k,T为正的常数,则f(x)=a 的x 次方与Ψ(x)的乘积,其中a>0的常数,Ψ(x)是以T为周期的函数.

求解函数证明题证明:若对于函数f(x)(-∞<x<+∞),有等式f(x+T)=k f(x)成立.其中k,T为正的常数,则f(x)=a 的x 次方与Ψ(x)的乘积,其中a>0的常数,Ψ(x)是以T为周期的函数.
f(x) = a^xΨ(x)
f(x+T) = a^(x+T)Ψ(x+T)
kf(x) = ka^xΨ(x)
f(x+T) = kf(x)
=>a^(x+T)Ψ(x+T) = ka^xΨ(x)
a^TΨ(x+T) = kΨ(x)
Ψ(x+T) = ka^(-T)Ψ(x)
put k = a^T
Ψ(x+T) = Ψ(x)
Ψ(x)是以T为周期的函数

设 a = k^(1/T). Ψ(x)=f(x)/a^x.
只需验证 Ψ(x)是以T为周期的函数.
Ψ(x+T) = f(x+T)/a^(x+T) = k f(x)/(a^x*k)=f(x)/a^x=Ψ(x).
所以结论成立。

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