2014数学中考徐州最后一题答案28. （本题10分）如图,矩形ABCD的边AB=75px,AD=100px,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:32:15
2014数学中考徐州最后一题答案28. （本题10分）如图,矩形ABCD的边AB=75px,AD=100px,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,
2014数学中考徐州最后一题答案
28. （本题10分）如图,矩形ABCD的边AB=75px,AD=100px,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.
（1）试说明四边形EFCG是矩形；
（2）当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,
①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值；若不存在,说明理由；
②求点G移动路线的长.
2014数学中考徐州最后一题答案28. （本题10分）如图,矩形ABCD的边AB=75px,AD=100px,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF、CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,
分析：
（1）只要证到三个内角等于90°即可．
（2）易证点D在⊙O上,根据圆周角定理可得∠FCE=∠FDE,从而证到△CFE∽△DAB,根据相似三角形的性质可得到S矩形ABCD=2S△CFE=[(
3CF)^2]/4．然后只需求出CF的范围就可求出S矩形ABCD的范围．根据圆周角定理和矩形的性质可证到∠GDC=∠FDE=定值,从而得到点G的移动的路线是线段,只需找到点G的起点与终点,求出该线段的长度即可．
（1）证明：如图1,
∵CE为⊙O的直径,
∴∠CFE=∠CGE=90°．
∵EG⊥EF,
∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°．
∴四边形EFCG是矩形．
（2）①存在．
连接OD,如图2①,
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠ADC=90°．
∵点O是CE的中点,
∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE,∠A=∠CFE=90°,
∴△CFE∽△DAB．
∴S△CFE/S△DAB=（CF/DA）^2．
∵AD=4,AB=3,
∴BD=5,
S△CFE=（CF/4）^2•S△DAB=CF^2/16×1/2×3×4=[(3CF)^2]/8．
∴S矩形ABCD=2S△CFE=[(3CF)^2]/4．
∵四边形EFCG是矩形,
∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,
∴∠GDC=∠FDE．
∵∠FDE+∠CDB=90°,
∴∠GDC+∠CDB=90°．
∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时,点F在点B（F′）处,点G在点D（G′处,如图2①所示．）
此时,CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时,直径F″G″⊥BD,
如图2②所示,
此时⊙O与射线BD相切,CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时,CF最小,此时点F到达F″′,
如图2③所示．
S△BCD=1/2BC•CD=1/2BD•CF″′．
∴4×3=5×CF″′．
∴CF″′=12/5．
∴12/5≤CF≤4．
∵S矩形ABCD=[(3CF)^2]/4,
∴3/4×（12/5）^2≤S矩形ABCD≤[3/4]×4^2．
∴108/25≤S矩形ABCD≤12．
∴矩形EFCG的面积最大值为12,最小值为108/25．
②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,
∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE,∠DCG″=∠A=90°,
∴△DCG″∽△DAB．
∴DC/DA=DG″/DB．
∴3/4=DG″/5．
∴DG″=15/4．
∴点G移动路线的长为15/4．
