一道数学题426在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边顺次为a,b,c.若关于X的方程C（X^2+1)-2（根号2）bX-a(X^2-1)=0 的两根平方和为10,则b/a的值为根号15
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:52:07
一道数学题426在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边顺次为a,b,c.若关于X的方程C（X^2+1)-2（根号2）bX-a(X^2-1)=0 的两根平方和为10,则b/a的值为根号15
一道数学题426
在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边顺次为a,b,c.若关于X的方程C（X^2+1)-2（根号2）bX-a(X^2-1)=0 的两根平方和为10,则b/a的值为根号15
一道数学题426在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边顺次为a,b,c.若关于X的方程C（X^2+1)-2（根号2）bX-a(X^2-1)=0 的两根平方和为10,则b/a的值为根号15
在△ABC中,∠C=90°,则有：a^2+b^2 = c^2 ；
方程整理得：(c-a)X^2-(2√2)bX+(c+a) = 0 ,
设方程两根为 X1 和 X2 ,
则由韦达定理可得：X1+X2 = (2√2)b/(c-a) ,X1X2 = (c+a)/(c-a) ；
可得：10 = X1^2+X2^2 = (X1+X2)^2-2X1X2 = [8b^2-2(c^2-a^2)]/(c-a)^2 = 6b^2/(c-a)^2 ,
则有：(c-a)^2/b^2 = 3/5 .
令 k = c/a ,即：c = ak ,
则有：b = √(c^2-a^2) = a√(k^2-1) ,
即有：b/a = √(k^2-1) .
(c-a)^2/b^2 = [(k-1)^2]a^2/b^2 = (k-1)^2/(b/a)^2 = (k-1)^2/(k^2-1) = 3/5 ,
整理得：k^2-5k+4 = 0 ,
解得：k = 1 或 k = 4 .
当 k = 1 时,b/a = 0 不合题意；
当 k = 4 时,b/a = √15 ；
所以,b/a的值为 √15 .
什么意思？要求什么呢？