在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 08:11:05
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
在ABCD中,AE垂直BD,CE垂直BD,垂足分别为E,F,G,H分别是AD,BC的中点,试证明EF和GH互相平分
证法1】：
连接EG,HF
∵AE⊥BC,G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理：
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
∴∠GDB=∠HBD
∴∠GED=∠HFB
∴EG//HF
∴四边形EGFH为平行四边形
∴EF和GH互相平分
【证法2】：
设BD于GH交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC,AD//BC
∴∠GDO=∠BHO,∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD,BC的中点
∴DG=BH
∴⊿DGO≌⊿BHO（ASA）
∴GO=HO,DO=BO
∵AE⊥BD,CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90º
又∵∠ADE=∠CBF,AD=BC
∴⊿ADE≌⊿CBF（AAS）
∴DE=BF
∴DE-DO=BF-BO
即EO=FO
∴EF和GH互相平分
证法1】：
连接EG，HF
∵AE⊥BC，G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理：
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
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证法1】：
连接EG，HF
∵AE⊥BC，G为AD的中点
∴EG为Rt⊿AED的斜边中线
∴EG=½AD=DG
∴∠GED=∠GDB
同理：
HF=½BC=BH
∴∠HFB=∠HBD
∵四边形ABCD是平行四边形
∴①AD=BC
∴EG=HF
②AD//BC
∴∠GDB=∠HBD
∴∠GED=∠HFB
∴EG//HF
∴四边形EGFH为平行四边形
∴EF和GH互相平分
【证法2】：
设BD于GH交于O
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，AD//BC
∴∠GDO=∠BHO，∠GDO=∠HBO
∵G,H是AD，BC的中点
∴DG=BH
∴⊿DGO≌⊿BHO（ASA）
∴GO=HO，DO=BO
∵AE⊥BD，CF⊥BD
∴∠AED=∠CFB=90º
又∵∠ADE=∠CBF，AD=BC
∴⊿ADE≌⊿CBF（AAS）
∴DE=BF
∴DE-DO=BF-BO
即EO=FO
∴EF和GH互相平分
收起
此题出错,ABCD应为平行四边形,,
abcd是平行四边形吧。。。
AD=BC G、H为中点，故GD=HB
角gdo=角hob （gh与bd交点为o），角dgo=bho
由ASA得三角形gdo全等于hbo
故go=ho
连接ao、co
易证eo=fo
故得证