二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0} 答案是(π/2)*ln2
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 18:51:21
二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0} 答案是(π/2)*ln2
二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0}
答案是(π/2)*ln2
二重积分I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy其中D={（x,y）/x^2+y^2=0} 答案是(π/2)*ln2
I = ∫∫ (1 + xy)/(1 + x² + y²) dxdy,D = { (x,y) | x² + y² ≤ 1,x ≥ 0 }
{ x = rcosθ,{ y = rsinθ
- π/2 ≤ θ ≤ π/2,注意这界限,∵x ≥ 0,所以θ只能在第三、第四象限变化
I = ∫(- π/2→π/2) dθ ∫(0→1) (1 + r²sinθcosθ)/(1 + r²) • rdr
= ∫(- π/2→π/2) dθ • ∫(0→1) [r/(1 + r²) + r³/(1 + r²) • sinθcosθ] dr
= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(r² + 1) + sinθcosθ • [r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)] |(0→1) dθ
= ∫(- π/2→π/2) (1/2)ln(2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • sinθcosθ dθ
= (1/2)ln(2) • (π/2 + π/2) + [1/2 - (1/2)ln(2)] • 0
= (1/2)ln(2) • π
= (π/2)ln(2)
楼上的象限根本是错的
要是角度限制在[0,π]内,那是y ≥ 0而不是x ≥ 0,画个图就知道了
要x ≥ 0,x的值当然要在y轴右边了,即第三、第四象限才是的
对于y ≥ 0,y = √(1 - x²),θ∈[0,π]
对于x ≥ 0,x = √(1 - y²),θ∈[- π/2,π]
对于y ≤ 0,y = - √(1 - x²),θ∈[3π/2,2π]
对于x ≤ 0,x = - √(1 - y²),θ∈[π,3π/2]
[r²/2 - (1/2)ln(r² + 1)]
这步只是求∫ r³/(1 + r²) dr,你会做的吧
你把本题分解，把分子化为1+xy，然后分开积分，有xy的那部分如果积分区间即关于x轴对称又关于y轴对称的话积分结果是0，因此，本题只是分子是一的积分，然后化成极坐标形式，分母是1+r的平方，分子r在r属于0到一，θ属于0到2π积分，这样的话就非常容易了，直接用二重积分法则，结果显而易见，希望帮到你。...
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你把本题分解，把分子化为1+xy，然后分开积分，有xy的那部分如果积分区间即关于x轴对称又关于y轴对称的话积分结果是0，因此，本题只是分子是一的积分，然后化成极坐标形式，分母是1+r的平方，分子r在r属于0到一，θ属于0到2π积分，这样的话就非常容易了，直接用二重积分法则，结果显而易见，希望帮到你。
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设 x=rsint
y=rcost 0<=r<=1 0<=t<=π
I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy
=∫∫(1+rsint*rcost)/(1+r^2) *r drdt
=∫(0,1)∫(0,π) (1+r^2/2*sin2t)/(1+r^2) *r dt dr
=∫(0,1) [ rt/(1+r^2)+r^2/2(...
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设 x=rsint
y=rcost 0<=r<=1 0<=t<=π
I=∫∫(1+xy)/(1+x^2+y^2)dxdy
=∫∫(1+rsint*rcost)/(1+r^2) *r drdt
=∫(0,1)∫(0,π) (1+r^2/2*sin2t)/(1+r^2) *r dt dr
=∫(0,1) [ rt/(1+r^2)+r^2/2(1+r^2)*1/2cos2t |(0,π) ] dr
=∫(0,1) πr/(1+r^2) dr
=π/2∫(0,1) d(1+r^2)/(1+r^2)
=π/2 ln(1+r^2)|(0,1)
=π/2*ln2
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