点P(1,-根号3 ),则它的极坐标是

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试卷类型：A 2009年普通高考测试题（一） 数学（理科）本试卷共4页,共21小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1．答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上.用2B铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上.在答题卡右上角的“试室号”和“座位号”栏填写试室号、座位号,将相应的试室号、座位号信息点涂黑. 2．选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,不能答在试卷上. 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4．考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 参考公式： 如果事件、互斥,那么 如果事件、相互独立,那么一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．已知U={2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7},N={2,4,5,6},则 A．M∩N={4,6}B．M∪N=UC．(CuN)∪M=UD．(CuM)∩N=N 2．若将复数表示为a+bi（a,b∈R,i是虚数单位）的形式,则a+b= A．0B．1C．–1D．2 3．如图,样本数为的四组数据,它们的平均数都是,频率条形图如下,则标准差最大的一组是第一组第二组第三组第四组 ．．．．4．已知等差数列的前13项之和为,则等于 ．．．． 5．已知函数,给出下列四个命题： ①若,则②的最小正周期是 ③在区间上是增函数．④的图象关于直线对称 其中真命题是 ．①②④．①③．②③．③④ 6．若过点A(3,0)的直线l与曲线有公共点,则直线l斜率的取值范围为 A．(,)B．[,]C．(,)D．[,] 7．命题：,则 ．是假命题,： ．是假命题,： ．是真命题,：, ．是真命题,： 8．函数图象上的动点P到直线的距离为,点P到轴的距离为,则 A．5B．C．D．不确定的正数 二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分. （一）必做题（9~12题） 9.抛物线的焦点坐标是__________________. 10.用单位立方块搭一个几何体,使它的主视图和俯视图 如下图所示,则它的体积的最小值为,最大 值为.11.若,满足约束条件,则 的最大值为． 12.已知某算法的流程图如图所示,若将输出的(x,y)值依次记为 (x1,y1),(x2,y2),……(xn,yn),……. (1)若程序运行中输出的一个数组是(,t),则t=； (2)程序结束时,共输出(x,y)的组数为. （二）选做题（13-15题,考生只能从中选做二题） 13.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中,若过点且与极轴垂直的直线交曲线于A、B两点,则__________． 14.（不等式选讲选做题）设,则的最小值为________．15.（几何证明选讲选做题）如图,已知PA、PB是 圆O的切线,A、B分别为切点,C为圆O上不与 A、B重合的另一点,若∠ACB=120°,则∠APB =． 三、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分12分） 在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中5个项目的比赛．已知该运动员在这5个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是0.8,那么在本次运动会上： （Ⅰ）求该运动员至少能打破3项世界纪录的概率； （Ⅱ）若该运动员能打破世界纪录的项目数为,求的数学期望（即均值）．17．（本小题满分12分） 已知向量,函数,． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）在中,分别是角的对边,且,且,求的值． 18．（本小题满分14分） 如图,在三棱锥P-ABC中,PA=3,AC=AB=4,PB=PC=BC=5,D、E分别是BC、AC的中点,F为PC上的一点,且PF:FC=3:1． （Ⅰ）求证：PA⊥BC； （Ⅱ）试在PC上确定一点G,使平面ABG‖平面DEF； （Ⅲ）在满足（Ⅱ）的情况下,求二面角G-AB-C的 平面角的正切值． 19．（本小题满分14分） 已知函数.（） （Ⅰ）当时,求在区间[1,e]上的最大值和最小值； （Ⅱ）若在区间（1,+∞）上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围．20．（本小题满分14分） 已知定圆圆心为A,动圆M过点,且和圆A相切,动圆的圆心M的轨迹记为C． (Ⅰ)求曲线C的方程； (Ⅱ)若点为曲线C上一点,探究直线与曲线C是否存在交点?若存在则求出交点坐标,若不存在请说明理由．21．（本小题满分14分） 设数列{}的前n项和为,并且满足,（n∈N*）. （Ⅰ）求,； （Ⅱ）猜想{}的通项公式,并加以证明； （Ⅲ）设,且,证明：≤.湛江市2009年普通高考测试题（一） 数学（理科） 参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分） 1.B2.B3.D4.B5.D6.D7.C8.B.二、填空题（本大题共6小题,每小题5分,共30分） 9.（0,）.10.（2分）,（3分）.11.9. 12.（2分）,1005（3分）.13..14..15..三、解答题（本大题共6小题,共80分） 16.（本小题满分12分） （Ⅰ）依题意,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.设其打破世界纪录的项目数为随机变量,“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A,则有………………………………………………………………2分 …………………………………………4分 …………………………………6分 .………………………………………………………………8分 （Ⅱ）由（Ⅰ）解答可知,～B（5,0.8）,故所求数学期望为 .………………………………………………………………12分 17．（本小题满分12分） （Ⅰ）---------2分 ∴函数的最小周期----------4分 （Ⅱ） -------------6分 ------------7分 是三角形内角 ∴,∴即：-------------8分 ∴即：----------------10分 将可得：解之得： ∴∴------------12分 18．（本小题满分14分） (Ⅰ)在△PAC中,∵PA=3,AC=4,PC=5, ∴,∴；……1分 又AB=4,PB=5,∴在△PAB中, 同理可得…………………………2分 ∵,∴……3分 ∵平面ABC,∴PA⊥BC.…………4分 (Ⅱ)如图所示取PC的中点G,…………………5分 连结AG,BG,∵PF:FC=3:1,∴F为GC的中点 又D、E分别为BC、AC的中点, ∴AG‖EF,BG‖FD,又AG∩GB=G,EF∩FD=F……………7分 ∴面ABG‖面DEF 即PC上的中点G为所求的点……………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知G这PC的中点,连结GE,∴GE⊥平面ABC,过E作EH⊥AB于H,连结GH,则GH⊥AB,∴∠EHG为二面角G-AB-C的平面角……………11分 ∵又 ∴又……………13分 ∴ ∴二面角G-AB-C的平面角的正切值为……………14分 19．（本小题满分14分） （Ⅰ）当时,；………………2分 对于[1,e],有,∴在区间[1,e]上为增函数,…………3分 ∴,.……………………………5分 （Ⅱ）令,则的定义域为（0,+∞）. ……………………………………………6分 在区间（1,+∞）上,函数的图象恒在直线下方等价于在区间（1,+∞）上恒成立. ∵ ①若,令,得极值点,………………8分 当,即时,在（,+∞)上有, 此时在区间(,+∞)上是增函数,并且在该区间上有 ∈(,+∞),不合题意；………………………………………9分 当,即时,同理可知,在区间(1,+∞)上,有 ∈(,+∞),也不合题意；………………………………………10分 ②若,则有,此时在区间(1,+∞)上恒有, 从而在区间(1,+∞)上是减函数；……………………………………12分 要使在此区间上恒成立,只须满足, 由此求得的范围是[,]. 综合①②可知,当∈[,]时,函数的图象恒在直线下方. ………………………………………………14分 20．（本小题满分14分） (Ⅰ)圆A的圆心为,………………1分 设动圆M的圆心为…………2分 由|AB|=,可知点B在圆A内,从而圆M内切于圆A,故|MA|=r1-r2, 即|MA|+|MB|=4,………………4分 所以,点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆,设椭圆方程为, 由 故曲线C的方程为………………6分 (Ⅱ)当, ………………8分 消去①……………10分 由点为曲线C上一点, 于是方程①可以化简为解得,……………12分……………………………………………………………13分 综上,直线l与曲线C存在唯一的一个交点,交点为.……………14分 21．（本小题满分14分） （Ⅰ）分别令,2,3,得∵,∴,.………………………………………3分 （Ⅱ）证法一：猜想：,………………………………………………………4分 由① 可知,当≥2时,② ①-②,得,即.………………6分 1）当时,∵,∴；……………7分 2）假设当（≥2）时,. 那么当时, ∵,≥2,∴, ∴. 这就是说,当时也成立, ∴（≥2）.显然时,也适合. 故对于n∈N*,均有.………………………………………9分 证法二：猜想：,………………………………………………………4分 1）当时,成立；…………………………………………………5分 2）假设当时,.…………………………………………………6分 那么当时,. ∴, ∴（以下同证法一）…………………………………………………………9分 （Ⅲ）证法一：要证≤, 只要证≤,………………10分 即≤,…………………11分 将代入,得≤, 即要证≤,即≤1.…………………………12分 ∵,且,∴≤, 即≤,故≤1成立,所以原不等式成立.………………………14分 证法二：∵,且, ∴≤① 当且仅当时取“”号.…………………………………11分 ∴≤② 当且仅当时取“”号.…………………………………12分 ①+②,得 （）≤, 当且仅当时取“”号.……………………………………13分 ∴≤.………………………………………14分 证法三：可先证≤.………………………………………10分 ∵, ,≥,……………………………11分 ∴≥, ∴≥,当且仅当时取等号.………………12分 令,即得 ≤, 当且仅当即时取等号.………………………14分如上各题若有其它解法,请评卷老师酌情给分.