如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处．分别以OC,OOA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点．（1）求AD的长及抛物线的
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 07:23:39
如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处．分别以OC,OOA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点．（1）求AD的长及抛物线的
如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处．分别以OC,O
OA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点．
（1）求AD的长及抛物线的解析式；
（2）一动点P从点E出发,沿EC以每秒2个单位长的速点C运动,同时动点Q从点C出发,沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动,当点P运动到点C时,两点同时停止运动．设运动时间为t秒,当t为何值时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似?
（3）点N在抛物线对称轴上,点M在抛物线上,是否存在这样的点M与点N,使以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请写出点M与点N的坐标；若不存在,请说明理由．(要过程）
如图,在矩形OABC中,AO=10,AB=8,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处．分别以OC,OOA所在的直线为x轴,y轴建立平面直角坐标系,抛物线y=ax2+bx+c经过O,D,C三点．（1）求AD的长及抛物线的
（1）∵四边形ABCO为矩形,
∴∠OAB=∠AOC=∠B=90°,AB=CO=8,AO=BC=10．
由题意,△BDC≌△EDC．
∴∠B=∠DEC=90°,EC=BC=10,ED=BD．
由勾股定理易得EO=6．
∴AE=10-6=4,
设AD=x,则BD=ED=8-x,由勾股定理,得x2 42=（8-x）2,
解得,x=3,∴AD=3．
∵抛物线y=ax2 bx c过点D（3,10）,C（8,0）,O（0,0）
∴9a 3b=1064a 8b=0,
解得a=-
23b=
163
∴抛物线的解析式为：y=-23x2 163x．
（2）∵∠DEA ∠OEC=90°,∠OCE ∠OEC=90°,
∴∠DEA=∠OCE,
由（1）可得AD=3,AE=4,DE=5．
而CQ=t,EP=2t,∴PC=10-2t．
当∠PQC=∠DAE=90°,△ADE∽△QPC,
∴CQEA=CPED,即t4=10-2t5,
解得t=4013．
当∠QPC=∠DAE=90°,△ADE∽△PQC,
∴PCAE=CQED,即10-2t4=t5,
解得t=257．
∴当t=4013或257时,以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE相似．
（3）假设存在符合条件的M、N点,分两种情况讨论：
①
EC为平行四边形的对角线,由于抛物线的对称轴经过EC中点,若四边形MENC是平行四边形,那么M点必为抛物线顶点；
则：M（4,323）；而平行四边形的对角线互相平分,那么线段MN必被EC中点（4,3）平分,则N（4,-143）；
②EC为平行四边形的边,则EC∥.MN,设N（4,m）,则M（4-8,m 6）或M（4 8,m-6）；
将M（-4,m 6）代入抛物线的解析式中,得：m=-38,此时 N（4,-38）、M（-4,-32）；
将M（12,m-6）代入抛物线的解析式中,得：m=-26,此时 N（4,-26）、M（12,-32）；
综上,存在符合条件的M、N点,且它们的坐标为：
①M1（-4,-32）,N1（4,-38）；
②M2（12,-32）,N2（4,-26）；
③M3（4,323）,N3（4,-143）．