证明不等式《高等数学》求解答过程,谢谢!

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/12/22 22:42:43

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证明不等式《高等数学》

求解答过程,谢谢!

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ln(1+0)=0,
假设x>0,prove x-ln(1+x)>0,let f(x)=x-ln(1+x),f(0) = 0,f'(x) = 1-[1/(1+x)] = x/(1+x)>0,so f(x) is increasing in [0,+正无穷),so f(x)>0,so x>ln(1+x).
prove ln(1+x) - [x/(1+x)] >0,let g(x) = ln(1+x) - [x/(1+x)] = ln(1+x) - [1-1/(1+x))],
so g(0) = 0,g'(x) = 1/(1+x) -1/[(1+x)^2] = x/[(1+x)^2] >0,where x>0,
so g(x) is increasing in [0,+正无穷),so g(x)>0 for x>0,so ln(1+x) > x/(1+x)

x=0的时候这个不等式显然就不成立
x不等于0的时候是成立的，左右相减求导，最值应该都是在0处取得

x 应该有取值范围把？
但就右边两个式子做减法求导，就不单调啊，怎么可能一直小于= =
求解。。

作辅助函数f(x)=In(1+x)，在闭区间[0,x]上使用拉格朗日中值定理，有f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，0<ξ0时成立。

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