实数m取何值时,关于x的方程x^2+(m-2)x-(m+3)=0的两根的平方和最小?并求出该最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 12:42:43
实数m取何值时,关于x的方程x^2+(m-2)x-(m+3)=0的两根的平方和最小?并求出该最小值.
实数m取何值时,关于x的方程x^2+(m-2)x-(m+3)=0的两根的平方和最小?并求出该最小值.
实数m取何值时,关于x的方程x^2+(m-2)x-(m+3)=0的两根的平方和最小?并求出该最小值.
根据韦达定理
x1+x2=-(m-2)
x1x2=-（m+3）
x1²+x2²
=(x1+x2)²-2x1x2
=(m-2)²+2(m+3)
=m²-4m+4+2m+6
=m²-2m+10
=(m-1)²+9
所以m=1时最小,最小值是9
如果本题有什么不明白可以追问,
x1²+x2²
=（x1+x2）²-2x1x2
根据韦达定理
（m-2）²+2（m+3）
=m²-4m+4+2m+6
=m²-2m+10
=（m-1）²+9
m=1时，有最小值9
设两根为a、b
a²+b²=（a+b）²-2ab=(m-2)²+2(m+3)=m²-2m+10=（m+1）²+9
m=-1时，a²+b²有最小值9
设两根分别为x1和x2，x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2,有一元二次方程的韦达定理，x1+x2=2-m，x1x2=-（m+3），所以x1^2+x2^2=（m-2）^2+2（m+3）=m^2-4m+4+2m+6=m^2-2m+10=(m-1)^2+9,当且仅当m=1时，有最小值9
x1^2+x2^2=(x1+x2)^2-2x1x2=(m-2)^2+2m+6
=m^2-2m+10
=(m-1)^2-9
min=9
此时m=1
设两根分别为x1,x2
则x1+x2=-(m-2)=2-m
x1*x2=-(m+3)
所以x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2
=(2-m)²-2[-(m+3)]
=4-4m+m²+2m+6
=m²-2m+10
=m²-2m+1+9
=(m-1)²+9
所以当m=1时，x1²+x2²有最小值，最小值为9
设方程的两个根分别为x1 ,x2，由韦达定理得：
x1+x2=-(m-2)
x1x2=-(m+3)
所以：x1^2+x^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=(m-2)^2+2*(m+3)
=m^2-4m+4+2m+6
=n^2-2m+1+9
=(m-1)^2+9
m-1=0
m=1
所以当m=1时,m有最小值，m的最小值是9