一个自然数N,使得它能被5和49整除,包括1和N在内,它共有10个约数.N的值是多少?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/23 12:48:47
一个自然数N,使得它能被5和49整除,包括1和N在内,它共有10个约数.N的值是多少?
一个自然数N,使得它能被5和49整除,包括1和N在内,它共有10个约数.N的值是多少?
一个自然数N,使得它能被5和49整除,包括1和N在内,它共有10个约数.N的值是多少?
把数N写成质因数乘积的形式
由于N能被5和72=49整除,故a3≥1,a4≥2,其余的指数ak为自然数或零.依题意,有
（a1+1）（a2+1）…（an+1）=10.
由于a3+1≥2,a4+1≥3,且10=2×5,故
a1+1=a2+1=a5+1=…=an+1=1,
即a1=a2=a5=…an=0,N只能有2个不同的质因数5和7,因为a4+1≥3＞2,故由
（a3+1）（a4+1）=10
知,a3+1=5,a4+1=2是不可能的.因而a3+1=2,a4+1=5,即N=52-1×75-1=5×74=12005
5与49的乘积245有六个约数：1 5 7 35 49 245
若增加一个乘数a（不是前面的六个约数）组成新的自然数，则增加的约数是：a 5a 7a 35a 49a 245a
此时就有12个约数了，不符合题意
增加的乘数可能是前面的六个约数：
若增加的乘数是1，增加的约数没有
若增加的乘数是5，增加的约数是：25 175 1225
若增加的乘数是7，...
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5与49的乘积245有六个约数：1 5 7 35 49 245
若增加一个乘数a（不是前面的六个约数）组成新的自然数，则增加的约数是：a 5a 7a 35a 49a 245a
此时就有12个约数了，不符合题意
增加的乘数可能是前面的六个约数：
若增加的乘数是1，增加的约数没有
若增加的乘数是5，增加的约数是：25 175 1225
若增加的乘数是7，增加的约数是：343 1715
若增加的乘数是35，增加的约数是：175 1225 1715 8575 满足条件
若增加的乘数是49，增加的约数是：343 1715 2401 12005 满足条件
若增加的乘数是245，增加的约数有五个（只有1与245的乘积不是）
综上所述，满足条件的自然数N有两个：8575 和 12005
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