证明弦切角定理需分几类,分类的标准是

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 11:12:00
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证明弦切角定理需分几类,分类的标准是

证明弦切角定理需分几类,分类的标准是
分3类,标准是圆心与弦切角的相对位置

 
设AP切⊙O于P,PQ是弦
则∠APQ是弦切角,∠APQ夹的弧是弧PQ,弧PQ所对的圆周角记为∠PCQ
只需证明∠APQ=∠PCQ
1° O在∠APQ外部
    过P作直径BP,联结BC
    则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90°
    则有∠APB=∠BCP,即∠APQ+∠BPQ=∠BCQ+∠PCQ
    由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ
    所以∠APQ=∠PCQ
2° O在∠APQ的一边,PQ上
    此时PQ是直径,则PQ⊥AP,∠APQ=90°
    而且∠PCQ是直径PQ所对的圆周角,∠PCQ=90°
    所以∠APQ=∠PCQ
3° O在∠APQ内部
    过P作直径BP,联结BC
    则BP⊥AP,∠APB=90°,且∠BCP是直径BP所对的圆周角,∠BCP=90°
    则有∠APB=∠BCP
    由于∠BPQ,∠BCQ都是弧BQ所对的圆周角,所以∠BPQ=∠BCQ
    所以∠APB+∠BPQ=∠BCP+∠BCQ
    即∠APQ=∠PCQ

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