已知三棱锥P–ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C–PA–B的平面角的余弦值是?
来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2025/02/07 10:39:11
已知三棱锥P–ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C–PA–B的平面角的余弦值是?
已知三棱锥P–ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C–PA–B的平面角的余弦值是?
已知三棱锥P–ABC中,PB⊥平面ABC,∠ABC=60°,PB=AB=BC=6,则二面角C–PA–B的平面角的余弦值是?
本题可用解析几何法.
∠ABC=60°,AB=BC ==> 等边ΔABC,设边长为a,则有 PA=AB=AC=BC=a=6
以点B为原点,以平行于ΔABC的BA边中线方向为x轴正方向,BA为y轴正方向,BP为Z轴正方向建立如图空间直角坐标系.
则各点坐标为:
P(0,0,a),A(0,a,0),B(0,0,0),C(a√3/2,a/2,0)
那么二面角C-PA-B即是平面PAB与平面PAC的夹角,两个平面的法向量之间的夹角与之相等或者互补,为使法向量夹角等于二面角C-PA-B,取法向量在x轴分量为正.
显然PAB平面法向量平行x轴,可取为单位向量 n1=(1,0,0);
PAC平面法向量在x,y,z轴都有分量,可以设为n2 =(1,y,z);
n2⊥平面PAC==> n2与平面PAC内任意向量数量积为0,有:
向量 n2.PA = 0 ==> (1,y,z).(0,a,-a) = a(y-z) =0
向量 n2.PC = 0 ==> (1,y,z).(a√3/2,a/2,-a) = a(√3/2+y/2-z) =0
两式联立,解得:
y = z = √3
因此:n2 = (1,√3,√3)
设n1,n2夹角为θ,则有:
Cosθ= n1.n2/(|n1|*|n2|) = (1,0,0).(1,√3,√3)/(1*√7) = √7/7
因此而二面角C-PA-B的余弦值为 √7/7