已知a、b、c都是奇数,证明：方程ax平方+bx+c=0的根必是无理数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 15:48:03
已知a、b、c都是奇数,证明：方程ax平方+bx+c=0的根必是无理数
已知a、b、c都是奇数,证明：方程ax平方+bx+c=0的根必是无理数
已知a、b、c都是奇数,证明：方程ax平方+bx+c=0的根必是无理数
如果x是有理数,
则x²一定是有理数,
如果x²是奇数,那么ax²一定是奇数,bx也一定是奇数,
那么ax²+bx一定是偶数,而c是奇数,∴ax²+bx+c≠0
如果x²是偶数,那么ax²一定是偶数,bx也一定是偶数,
那么ax²+bx一定是偶数,而c是奇数,∴ax²+bx+c≠0
∴x不是有理数,x是无理数；
方程ax²+bx+c=0的根必然为无理数.
假设原方程有有理根x，写成既约分数x=p/q。代入方程得a(p/q)^2+b(p/q)+c=0。两边乘以q^2，得
a*p^2+b*p*q+c*q^2=0。
由x=p/q为既约分数，p,q不能同时为偶数（否则可以用2通分），有三种可能：
(1)p为奇数，q为偶数。则a*p^2为奇数，b*p*q为偶数，c*q^2为偶数，三个数的和为奇数，不可能等于0
(2)p为偶数，...
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假设原方程有有理根x，写成既约分数x=p/q。代入方程得a(p/q)^2+b(p/q)+c=0。两边乘以q^2，得
a*p^2+b*p*q+c*q^2=0。
由x=p/q为既约分数，p,q不能同时为偶数（否则可以用2通分），有三种可能：
(1)p为奇数，q为偶数。则a*p^2为奇数，b*p*q为偶数，c*q^2为偶数，三个数的和为奇数，不可能等于0
(2)p为偶数，q为奇数。则a*p^2为偶数，b*p*q为偶数，c*q^2为奇数，三个数的和为奇数，不可能等于0
(3)p为奇数，q为奇数。则a*p^2为奇数，b*p*q为奇数，c*q^2为奇数，三个数的和为奇数，不可能等于0
所以矛盾，因此原方程的根必是无理数。
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