直线l:y=x+5和X轴、Y轴分别交于 A、B两点,C在椭圆x2/16+y2/9=1上运动,那么三角形ABC面积的最大值等于——
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/12 16:42:29
直线l:y=x+5和X轴、Y轴分别交于 A、B两点,C在椭圆x2/16+y2/9=1上运动,那么三角形ABC面积的最大值等于——
直线l:y=x+5和X轴、Y轴分别交于 A、B两点,C在椭圆x2/16+y2/9=1上运动,那么三角形ABC面积的最大值等于——
直线l:y=x+5和X轴、Y轴分别交于 A、B两点,C在椭圆x2/16+y2/9=1上运动,那么三角形ABC面积的最大值等于——
解析：设直线L1:y=x+b与椭圆x2/16+y2/9=1相切于点D,
代入得25x^2+32bx+16b^2-144=0,
△=(32b)^2-4*25*(16b^2-144)=0
解得b=-5,b=5(舍去）,有y-x+5=0
得x=16/5,y=-9/5,
即D(16/5,-9/5)
d=│-9/5-16/5-5│/√2=5√2,
令x=0,y=5,y=0.x=-5,
即A(-5,0),B(0,5)
∴AB=5√2,
S△ABD=1/2*AB*d=1/2*5√2*5√2=25
面积等于AB*CP/2，P为C垂直于AB交AB的点。CP即C点到P点距离
CP＝(X-Y+5)/√(2)
面积＝[5*√2]*[(X-Y+5)/√(2)]/2=(5/2)*(X-Y+5)
x-y=√[16-16*y²/9]-y,y小于0
然后求最大值即可
先摆出
P(x0,y0)点到直线Ax+By+C=0的距离公式为：
d=[Ax0+By0+C的绝对值]/[(A^2+B^2)的算术平方根]。
设椭圆上点为X=4cosθ, Y=3sinθ, θ属于[0,2π]
点到直线y=x+5即x-y+5=0的距离 可以由上面距离公式得出
d=|4cosθ-3sinθ+5|/(根2)
=|5cos(θ+φ)+5|...
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先摆出
P(x0,y0)点到直线Ax+By+C=0的距离公式为：
d=[Ax0+By0+C的绝对值]/[(A^2+B^2)的算术平方根]。
设椭圆上点为X=4cosθ, Y=3sinθ, θ属于[0,2π]
点到直线y=x+5即x-y+5=0的距离 可以由上面距离公式得出
d=|4cosθ-3sinθ+5|/(根2)
=|5cos(θ+φ)+5|/(根2) 其中φ满足cosφ=4/5,sinφ=3/5,φ为锐角
显然,当cos(θ+φ)=1时d最大=5*(根2)
d最大也就是三角形面积ABC面积最大
S=(1/2)*AB*d=25
AB=5(根2),图一画就出来了
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