设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/24 11:12:13

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC则点P是三角形

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!
设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!

设O为三角形ABC外心,平面上一点P使向量OP=向OA+向OB+向OC 则点P是三角形ABC的垂心,为什么?详细步骤!
【【注】】
【1】
以下大写字母均表示向量,前面不再写“向量”二字.
如“向量AB”就写为AB.
【2】
三角形高线的性质：
任意一个三角形,其三条高线交于一点.
该点就称为三角形的垂心.
【3】
三角形的外心：
易知,若点O是⊿ABC的外心,
则|OA|=|OB|=|OC|.
【【证明】】
【1】
由“向量加法的三角形法则”可知：
AP=AO+OP.
由题设可知：OP=OA+OA+OC.
又OA+AO=0.
∴AP=AO+OP
=AO+OA+OB+OC
=OB+OC.
即：AP=OB+OC
【2】
由“向量加法的三角形法则”可知：
OB+BC=OC.
∴BC=OC-OB.
【3】
由上面的结论可知：
AP•BC
=(OB+OC) •(OC-OB)
=OB•OC-OB²+OC²-OC•OB
=OC²-OB².
=|OC|²-|OB|²
=0.
∴AP•BC=0
∴向量AP⊥向量BC.
∴在平面几何中,直线AP⊥边BC.
∴AP是该三角形的高线.
【4】
同理可证,BP,和CP均为高线,
∴点P是该三角形的垂心.

你每次分别移一个向量过去就会发现

证明：AP·BC =(OP-OA)·(OC-OB) =(OC+OB)·(OC-OB) =OC^2-OB^2 　　=|OC|^2-|OB|^2 　　=0 　　故AP⊥BC 　　同理可得BP⊥AC，从而P是垂心