椭圆x^2/16+y^2/4=1上的点到直线x+2y-根号2=0的最大距离是( )?希望写的详细点 每一步都是怎么回事 谢谢

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 17:36:23
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到直线x+2y-根号2=0的最大距离的点是平行于该直线且与椭圆相切的点,切线有两条,已知直线上经过一、二、四象限,一条切线过第一象限,另一切线经第三象限,则经过第三象限的切线的切点就是椭圆到已知直线的最大距离.
设与已知直线平行的直线方程为：y=-x/2+m,(斜率相同,但截距不同）,
代入椭圆方程,x^2/16+(-x/2+m)^2=1,
5x^2+16mx+16m^2-16=0,
要使直线与二次曲线相切,则二次方程判别式△=0,
256m^2-320m^2+320=0,
m^=5,
m=±√5,
由上所述,已知直线与二切线间距离大的应该是在第三象限者,故选 m=-√5,
切线方程为:y=-x/2-√5,
在直线x+2y-√2=0上选择一特殊点A（√2,0）,
根据点线距离公式,A点至直线x/2+y+√5=0,距离为：
∴d(max)=|√2/2+√5|/√（1/4+1）=（10+√5）/5.
在该切线上的切点就是椭圆至直线的最远点.

√10

把椭圆方程用参数方程表示，很容易就知道了

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