已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/19 18:07:29
已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。
已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间
（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。
已知函数f(x)=kx,g(x)=lnx/x .(1)求函数g(x)的单调区间（2）若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，求k的值。
1)g'(x)=(1-lnx)/x^2=0,x=e
0
(1) g'(x)=(1-lnx)/x²，令g'(x)≥0，得1-lnx≥0，lnx≤1，0
(2) h(x)=kx -lnx，h'(x)=k -1/x，
①若k≤0，则 h'(x)<0，h(x)是减函数，在区间[1/e,e]上的最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e>0，舍；
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(1) g'(x)=(1-lnx)/x²，令g'(x)≥0，得1-lnx≥0，lnx≤1，0
(2) h(x)=kx -lnx，h'(x)=k -1/x，
①若k≤0，则 h'(x)<0，h(x)是减函数，在区间[1/e,e]上的最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e>0，舍；
②若k>0，令h'(x)=0，解得 x=1/k，易得 h(x)在(0，1/k]上减，在[1/k，∞)上增，
ⅰ).若 0
ⅱ).1/e
从而 k=1
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(1)g'(x)=(1-lnx)/x^2>0，则0
(2)h(x)=kx-lnx(x>0)，h'(x)=k-1/x=(kx-1)/x。
当k<=1/e时，h'(x)在[1/e,e]上恒小于0，h(x)递减，最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e，与k<=1/e不符。
当1/e
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(1)g'(x)=(1-lnx)/x^2>0，则0
(2)h(x)=kx-lnx(x>0)，h'(x)=k-1/x=(kx-1)/x。
当k<=1/e时，h'(x)在[1/e,e]上恒小于0，h(x)递减，最小值为h(e)=ke-1=1，k=2/e，与k<=1/e不符。
当1/e
当k>e时，0<1/k<1/e，h(x)在[1/e,e]上递增，最小值为h(1/e)=k/e+1=1，k=0，与k>e不符。
综上所述，若函数h(x)=f(x)-xg(x)在区间[1/e,e]上的最小值为1，则k=1。
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