已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m＜0.(1)求m与n的关系式 (2)求f(x)单调区间 (3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/24 13:57:02
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m＜0.(1)求m与n的关系式 (2)求f(x)单调区间 (3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m＜0.(1)求m与n的关系式 (2)求f(x)单调区间 (3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
已知x=1是函数f(x)=mx^3-3(m+1)x^2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m＜0.(1)求m与n的关系式 (2)求f(x)单调区间 (3)当x∈[-1,1]时,函数y=f(x)的图像上任意一点的其热线斜率恒大于3m,求m的取值范围
f'(x) = 3mx²-6(m+1)x+n
f'(1)=0
即：3m - 6(m+1) +n =0
n=3(m+2)
将n=3(m+2)代入f'(x)
f'(x) = 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)
△= 6[(m+1)²-m(m+2)]
= 6
又因m 3m
令g(x)=f'(x) - 3m ,x∈[-1,1]
g(x)= 3mx²-6(m+1)x+3(m+2)-3m
= 3mx²-6(m+1)x+6
= m [x-(m+1)/m]² - (m²+1)/m >0
当m0,g(x)最小值是g(-1)
g(-1)=3m+6(m+1)+6>0 ,解得m>0,与题意不合舍去
当-10 ,解得m
(1)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n.
f'(1)=3m-6(m+1)+n=0,
3m-n+6=0,n=3m+6
(2),f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n=3mx^2-6(m+1)x+3m+6
由f'(x)=0得到.x1=1,x2=(m+2)/m=1+2/m
因为m<0,x2
全部展开
(1)f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n.
f'(1)=3m-6(m+1)+n=0,
3m-n+6=0,n=3m+6
(2),f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+n=3mx^2-6(m+1)x+3m+6
由f'(x)=0得到.x1=1,x2=(m+2)/m=1+2/m
因为m<0,x2
f(x)的单调减区间为(-∞,(m+2)/m],[1,+∞)
(3)当x属于[-1,1]时,f'(x)=3mx^2-6(m+1)x+3m+6>3m
即,3mx^2-6(m+1)x+6>0恒成立.
令g(x)=3mx^2-6(m+1)x+6
m<0,g(x)开口向下
那么根据函数性质 ，只要在-1，1两点函数大于0 即可满足要求
所以g(-1)=9m+12>0
g(1)=-3m>0
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