已知三角形ABC中,a+b=10,且cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,求三角形ABC周长的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 17:48:05
已知三角形ABC中,a+b=10,且cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,求三角形ABC周长的最小值
已知三角形ABC中,a+b=10,且cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,求三角形ABC周长的最小值
已知三角形ABC中,a+b=10,且cosC是方程2x^2-3x-2=0的一个根,求三角形ABC周长的最小值
2x^2-3x-2=0,
(2X+1)(X-2)=0,
X1=-1/2,X2=2,
则cosC=-1/2,
C=120度,
cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab=-1/2.
(a+b)^2-c^2=ab,
(a+b+c)(a+b-c)=ab,
令,Y=a+b+c,有
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
要使Y最小,c就必须最小,则a,b就必须有最大值.
a+b≥2√ab,(a>0,b>0,)当且仅当a=b时,ab有最大值,即a+b=10=2a,a=5.
cosC=cos120=(a^2+b^2-c^2)/2ab,
c^2=2*5^2-2*5*5*(-1/2)=25*3,
c=5√3.
Y=ab/(a+b-c)=ab/(10-c),
=25/(10-5√3)=10+5√3.
三角形ABC周长的最小值为:10+5√3.
这题就慢慢算：
先解方程： （2x+1）（x-2）=0.取x=2，cos必须小于一（临边比斜边吗）
而这时是2 ，真是无法可想，这题就没法做了，反正x=-1/2更不对了。
a+b=10
2x^2-3x-2=0 (2x+1)(x-2)=0 x=-1/2 x=2(舍去）
所以 cosC=-1/2 有余弦定理得
c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=100-ab
有中值定理 当a=b=5时 ab=25 最大 c^2=100-ab有最小值
c^2=100-25=75 c=5*根号下3
三角形ABC周长最小值=a+b+c=10+5*根号下3
方程2x^2-3x-2=0
x1=-1/2 x2=2（舍）
根据余弦定理
a²+b²-2abcosC=c²
（a+b）²-ab=c²
100-2ab=c²
当c最小时，△ABC周长最小
即ab最大时，△ABC周长最小
因为a=10-b
ab=-b²+10b...
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方程2x^2-3x-2=0
x1=-1/2 x2=2（舍）
根据余弦定理
a²+b²-2abcosC=c²
（a+b）²-ab=c²
100-2ab=c²
当c最小时，△ABC周长最小
即ab最大时，△ABC周长最小
因为a=10-b
ab=-b²+10b
当b=5时，ab最大值为25
求出c=5根号2
△ABC最小周长=10+5根号2
收起