正三角形ABC的边长是a,D是BC的中点,P是AC的动点,连接PB和PD得到△PBD,求△PBD的周长的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 18:33:47
正三角形ABC的边长是a,D是BC的中点,P是AC的动点,连接PB和PD得到△PBD,求△PBD的周长的最小值
正三角形ABC的边长是a,D是BC的中点,P是AC的动点,连接PB和PD得到△PBD,求△PBD的周长的最小值
正三角形ABC的边长是a,D是BC的中点,P是AC的动点,连接PB和PD得到△PBD,求△PBD的周长的最小值
因为BD长固定,所以△PBD的周长的最小等价于PB+PD最小
所以作B关于AC的对称点B',PB+PD最小值就是B'D
B'D=(√7)a/2
所以△PBD的周长的最小值为[(√7)/2+1/2]a
以AC为对称轴,作出B的对称点B'.
连结B'D,可知最小的周长为B'D的长
可求得B'D的长=a乘以根号7除以二
.当点P运动到AC的中点时，BD=DP=1/2a,BP=√3/2a,此时三角形PBD的周长为(1+√3)a;
2.作点D关于AC的对称点D'，则BD=1/2a，BD'=√7/2a，三角形PBD周长的最小值为(1+√7)/2a.
过点D作D关于AC的对称点D'
连BD'、PD'
则PD=PD'，于是△PBD周长为：a/2+PB+PD'
由于D'是定点，即有BD'为定值，所以PB+PD'的最小值为BD'(因为两点之间线段最短)
下面求BD'
过B作BH垂直AC于点H，连HD、HD'，则HD为中位线，∠D'HC=∠DHC=60°,从而∠BHD'=150°
BH=(a√3)/2，H...
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过点D作D关于AC的对称点D'
连BD'、PD'
则PD=PD'，于是△PBD周长为：a/2+PB+PD'
由于D'是定点，即有BD'为定值，所以PB+PD'的最小值为BD'(因为两点之间线段最短)
下面求BD'
过B作BH垂直AC于点H，连HD、HD'，则HD为中位线，∠D'HC=∠DHC=60°,从而∠BHD'=150°
BH=(a√3)/2，HD'=HD=a/2
余弦定理知：(BD')^2=3a^2/4+a^2/4-2*(a√3)/2*(a/2)*cos150°=7a^2/4
所以BD'=(√7)a/2
所以△PBD周长最小值为：BD+BD'=(1+√7)a/2
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