正三角形ABC的边长为a,D是bc的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到三角形PBD1,当点P运动到AC中点时,三角形PBD的周长2,三角形PBD的周长最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/19 11:50:05
正三角形ABC的边长为a,D是bc的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到三角形PBD1,当点P运动到AC中点时,三角形PBD的周长2,三角形PBD的周长最小值
正三角形ABC的边长为a,D是bc的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到三角形PBD
1,当点P运动到AC中点时,三角形PBD的周长
2,三角形PBD的周长最小值
正三角形ABC的边长为a,D是bc的中点,P是AC边上的点,连结PB和PD得到三角形PBD1,当点P运动到AC中点时,三角形PBD的周长2,三角形PBD的周长最小值
(1)P在AC中点时,PD=a/2;PB=a√3/2
三角形PBD的周长=a/2+a/2+a√3/2=(1+√3/2)a
(2)作BE垂直于AC,垂足为E,延长BE于F使得EF=BE,连接DF,交AC于G,P运动到G点时,三角形PBD的周长有最小值.
对任一点P连接PF,显然PB=PF ,PD+PF>=DF
三角形PBD的周长=PD+PB+BD=PD+PF+BD>=DF+BD
三角形GBD的周长=GB+GD+BD=GF+GD+BD=DF+BD
所以 三角形PBD的周长>=三角形GBD的周长
三角形FBD中,角FBD=30°,BF=a√3,BD=a/2
由余弦定理,DF^2=(a√3)^2+(a/2)^2-2(a/2)(a√3)cos30
=a√7/2
三角形PBD的周长最小值=(1+√7+2√3)a/2
画图先
做pm垂直于bc,dn垂直于bp
1
pc=bd推出pd=bd
用勾股定理得到pn的值
（注意角pdn=60度）
2
pd*pd=(pc*pc-mc*mc)+(dc-mc)*(dc-mc)
bp*bp=(pc*pc-mc*mc)+[(dc-mc)+bd*bd]
周长=bp+bd+dp
然后就细心算下，看式子，后...
全部展开
画图先
做pm垂直于bc,dn垂直于bp
1
pc=bd推出pd=bd
用勾股定理得到pn的值
（注意角pdn=60度）
2
pd*pd=(pc*pc-mc*mc)+(dc-mc)*(dc-mc)
bp*bp=(pc*pc-mc*mc)+[(dc-mc)+bd*bd]
周长=bp+bd+dp
然后就细心算下，看式子，后面基本都可以消掉应该，然后答案应该很简单了
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1）点P运动到AC中点时
BP⊥AC，BP=a*sin60°=√3a/2,
PD=CP
PD=a/2,BD=a/2
三角形PBD的周长=√3a/2+a/2+a/2=(2+√3)a/2
2)
由于BD=a/2=定值
所以BP+DP最小时，三角形PBD的周长最小
做B关于AC的对称点Q，连接DQ交AC于P，BQ交AC于N
则DQ=...
全部展开
1）点P运动到AC中点时
BP⊥AC，BP=a*sin60°=√3a/2,
PD=CP
PD=a/2,BD=a/2
三角形PBD的周长=√3a/2+a/2+a/2=(2+√3)a/2
2)
由于BD=a/2=定值
所以BP+DP最小时，三角形PBD的周长最小
做B关于AC的对称点Q，连接DQ交AC于P，BQ交AC于N
则DQ=DP+BP最小
∠NBD=30°，BQ=2BN=√3a
余弦定理：
DQ^2==BQ^2+BD^2-2BD*BQ*cos∠NBD
DQ=√7a/2
最小值=a/2+√7a/2=(1+√7)a/2
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