若正数x,y,满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为?（请用一元二次方程△,）
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/23 22:01:16
若正数x,y,满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为?（请用一元二次方程△,）
若正数x,y,满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为?（请用一元二次方程△,）
若正数x,y,满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为?（请用一元二次方程△,）
解
由x+3y=5xy可得
（3/x)+(1/y)=5
由题设及克西不等式可得
5(3x+4y)
=[(3/x)+(1/y)](3x+4y)>=(3+2)^2=25
故3x+4y>=5
z最小=5
解析，x+3y=5xy，那么x=y(5x-3)，y=x/(5x-3)，由于y>0，故x>3/5。
3x+4y
=4x/(5x-3)+3x
=(15x²-5x)/(5x-3)
设t=(15x²-5x)/(5x-3)，整理得，15x²-（5+5t）x+3t=0，当△=0时，t最小。
△=（5+5t)²-180t=0，解得，...
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解析，x+3y=5xy，那么x=y(5x-3)，y=x/(5x-3)，由于y>0，故x>3/5。
3x+4y
=4x/(5x-3)+3x
=(15x²-5x)/(5x-3)
设t=(15x²-5x)/(5x-3)，整理得，15x²-（5+5t）x+3t=0，当△=0时，t最小。
△=（5+5t)²-180t=0，解得，t=5或者t=1/5
当t=1/5时，x=1/5,由于x>3/5，因此，舍去t=1/5
故，t=5，也就是3x+4y的最小值为5
收起
令t=3x+4y ==>y=(t-3x)/4代入到原式中得
x+3(t-3x)/4=5x[(t-3x)/4]
4x+3t-9x= - 15x^2+5tx
15x^2-5(1+t)x+3t=0
因为关于x的方程有实根，所以根的判别式Δx≥0
即：5^2(1+t)^2=4*15*3t≥0
5t^2-26+5≥0 ==>(5t-1)(t-5)≥0
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令t=3x+4y ==>y=(t-3x)/4代入到原式中得
x+3(t-3x)/4=5x[(t-3x)/4]
4x+3t-9x= - 15x^2+5tx
15x^2-5(1+t)x+3t=0
因为关于x的方程有实根，所以根的判别式Δx≥0
即：5^2(1+t)^2=4*15*3t≥0
5t^2-26+5≥0 ==>(5t-1)(t-5)≥0
t≥5 或t≤1/5
即3x+4y≥5 或3x+4y≤1/5
收起