同样是求极限,为什么前者就可以直接用等价无穷小替代,而后者不可以,

来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 19:50:46
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这个问题要解释清楚需要用泰勒展开,原因是这样的：
先看两个简单的例子lim[x→0] (x+x²)/sinx,lim[x→0] (x+3x²)/sinx
这两个很简单的极限题,你会发现虽然他们的分子是不同的,但最终极限一样,为什么呢?原因就是当x→0时,其实起决定性作用的就是次数最低的那一项,至于x²,由于次数较高,它有没有系数对极限都是没影响的；
（1）下面看你给的第一题：分母是sin3x,泰勒展开后次数最低项为3x,因此这一项在求极限时起决定性作用,后面的项均为高次,不起作用,因此分母可直接换成3x,这其实就是等价无穷小代换的原理；
下面看分子,tan5x的泰勒展式可能你不知道,但我们现在只需要第一项,用sin5x/cos5x,分子分母都用泰勒展式的第一项算一下,就能看出,tan5x的泰勒展式第一项是5x,而后面的-cosx的泰勒展式虽然第一项是-1,但正好与题目中的1消去了,所以需要看第二项,第二项是(1/2)x²,这就是为什么1-cosx的等价无穷小是(1/2)x²的原因.
综上,分子次数最低的项就是5x,因此本题可直接写为：lim 5x/(3x)
当然如果你写成：lim (5x+(1/2)x²)/(3x),也是没问题的,因为那个(1/2)x²是没用的.
综上这个题可以用等价无穷小代换.
（2）看第二题：分子,tanx展式的第一项是x,sinx展式的第一项也是x,它们相减刚好消去了,因此这时起决定性作用的已经不是x了,而应当是它们的下一项,也就是说由于x的消失,使得下一项升格为次数最低的项,成为了起决定性作用的,但是你在等价无穷小代换中把这个起决定性作用的项扔掉了,所以是不对的.
如果你看懂了上面写的,现在你是不是可以自己推广一下等价无穷小代换的使用范围：主要看代换后的项是否在加减运算中消失了,如果没消失就可以用等价无穷小代换,如果消失了,就不能用了,因为这时它们的下一项是起决定性作用的.
比如：lim (tanx+sinx)/x 就可以用等价无穷小代换,而 lim (x-sinx)/x³ 就不可以用.
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