三角形ABC中,角C等于90°,AD是角CAB的平分线,且BC等于4,CD等于二分之三,求AC

三角形ABC中,角C等于90°,AD是角CAB的平分线,且BC等于4,CD等于二分之三,求AC
三角形ABC中,角C等于90°,AD是角CAB的平分线,且BC等于4,CD等于二分之三,求AC

三角形ABC中,角C等于90°,AD是角CAB的平分线,且BC等于4,CD等于二分之三,求AC
作DE⊥AB于点E
∵AD是角平分线
∴DE=CD=1.5
∵BC=5
∴BD=2.5
根据勾股定理可得
BE=2
设AC=x
则AB=2+x,BC=4
根据勾股定理
x²+4²=（2+x）²
解得x=3
即AC=3

∵AD是角CAB的平分线,BC＝4，CD＝3／2
∴AC／AB＝CD／DB
即AC／AB＝3／5
∴AC＝3AB／5
∴由勾股定理得
4²＋﹙3AB／5﹚²＝AB²
∴AB＝5
∴AC＝3

过D作DE⊥AB
因为AD是角CAB的平分线
所以 CD=DE
AC=AE
BC=4,,CD=3/2
BD=BC-CD=4-3/2=5/2
因为BDE是直角三角形
BE²=BD²-DE²=(5/2)²-(3/2)²=4
BE=2
AC²+BC²=AB²
设AC=a
a²+16=(a+BE)²=(a+2)²=a²+4a+4
a=3
AC=3

利用角平分线性质，有：
AC：AB=CD：DB=(3/2)：(5/2)=3：5
设：AC=3a，则AB=5a
因AB²=AC²＋BC²且BC=4
则：(5a)²=(3a)²＋4²
得：a=1
则：AB=5，AC=3

过点D做AB的垂线，垂足为E。
∵AD是角CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB
∴CD=DE=3/2
又∵AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED
∴AC=AE
又∵BD=BC-CD,BC=4,CD=3/2
∴BD=5/2
在Rt△BDE中，
∵BD²=DE² + BE²
∴BE=2

全部展开

过点D做AB的垂线，垂足为E。
∵AD是角CAB的平分线，CD⊥AC，DE⊥AB
∴CD=DE=3/2
又∵AD=AD
∴Rt△ACD≌Rt△AED
∴AC=AE
又∵BD=BC-CD,BC=4,CD=3/2
∴BD=5/2
在Rt△BDE中，
∵BD²=DE² + BE²
∴BE=2
在Rt△ABC中，
∵AC²+BC²=AB²
即AC²+BC²=(AE+BE)²
∴AC²+BC²=(AC+BE)²
AC²+4²=(AC+2)²
解得：AC=3

收起

作DE⊥AB，又因为AD为角平分线
∴易证⊿ACD≌⊿ADE
∴DE=CD=1.5
∴BD=BC-CD=4-1.5=2.5，也可因勾股定理得出EB=2.0
又∵易证⊿ABC∽⊿BDE
∴就可以得到边的比啦，即AC∶BC=BE∶DE，

利用三角形内角平分线的性质。由题可知：AC:AB=CD:DB=3:5,令AC=3x，则AB=5x，由直角三角形的勾股定理得：(3x)^2+4^2=(5x)^2 解之得：x=1即：AC=4。
93x

根据而二倍角的正切公式来算。。
tan角CAD=CD/AC tan角CAB=CB/AC
tan角CAB=tan2×角CAD=2×tan角CAD/（1-tan角CAD的平方）
最后结果为3开平方根。
由于我不能插入图片，请谅解。。希望你能看得懂。。

作BE垂直AD的延长线于E点，在直角三角形ABE中，
sin∠BAE=BE/AB，故BE=ABsin∠BAE；
在直角三角形ACD中，sin∠CAD=CD/AD
∵AD是角CAB的平分线，∴∠BAE=∠CAD
故：sin∠BAE=sin∠CAD，于是：BE=AB*CD/AD...①
又 S△ABD=BD*AC/2=AD*BE/2，故：BD*AC=AD*...

全部展开

作BE垂直AD的延长线于E点，在直角三角形ABE中，
sin∠BAE=BE/AB，故BE=ABsin∠BAE；
在直角三角形ACD中，sin∠CAD=CD/AD
∵AD是角CAB的平分线，∴∠BAE=∠CAD
故：sin∠BAE=sin∠CAD，于是：BE=AB*CD/AD...①
又 S△ABD=BD*AC/2=AD*BE/2，故：BD*AC=AD*BE....②
将①代入②，可得：BD*AC=AD*AB*CD/AD=AB*CD，即AB=BD*AC/CD...③
∵CD=3/2，BC=4，∴BD=BC-CD=4-3/2=5/2，代入③，得：AB=AC*(5/2)/(3/2)=5AC/3...④
在直角三角形ABC中，AB²=AC²+BC²，将④代入，得：
(5AC/3)²=AC²+4²
解得：AC=3

收起

3