求证2001的平方+（2001的平方×2002的平方）+2002的平方为完全平方数
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/25 01:13:22
求证2001的平方+（2001的平方×2002的平方）+2002的平方为完全平方数
求证2001的平方+（2001的平方×2002的平方）+2002的平方为完全平方数
求证2001的平方+（2001的平方×2002的平方）+2002的平方为完全平方数
云晓虎2：
设x＝2001,则2002＝2001＋1＝x＋1
设a＝2001²＋2001²×2002²＋2002²
＝x²＋x²(x＋1)²＋(x＋1)²
＝x²－2x(x＋1)＋(x＋1)²＋2x(x＋1)＋x²(x＋1)²
＝[x－(x＋1)]²＋2x(x＋1)＋x²(x＋1)²
＝1＋2x(x＋1)²＋x²(x＋1)²
＝[1＋x＋x²]²
＝(1＋2001＋2001²)²
∴a是完全平方数
设2001=a
则原式可化为
a²+a²(a+1²)+(a+1)²
=a²(a+1)²+a²+a²+2a+1
=(a²+a)²+2(a²+a)+1
=(a²+a+1)²
=(2001²+2001+1)²
所以2001的平方+（2001的平方×2002的平方）+2002的平方为完全平方数
设x＝2001，则2002＝x＋1
2001²＋2001²×2002²＋2002²
＝x²＋x²(x＋1)²＋(x＋1)²
＝x²－2x(x＋1)＋(x＋1)²＋2x(x＋1)＋x²(x＋1)²
＝[x－(x＋1)]²＋2x(x＋1...
全部展开
设x＝2001，则2002＝x＋1
2001²＋2001²×2002²＋2002²
＝x²＋x²(x＋1)²＋(x＋1)²
＝x²－2x(x＋1)＋(x＋1)²＋2x(x＋1)＋x²(x＋1)²
＝[x－(x＋1)]²＋2x(x＋1)＋x²(x＋1)²
＝1＋2x(x＋1)²＋x²(x＋1)²
＝[1＋x＋x²]²
＝(1＋2001＋2001²)²
∴2001²＋2001²×2002²＋2002²是完全平方数
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