关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证：（1）c+h＞a+b.（2）以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 13:25:52
关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证：（1）c+h＞a+b.（2）以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
关于勾股定理的难题
已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证：（1）c+h＞a+b.（2）以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
关于勾股定理的难题已知CD为Rt三角形ABC的高,AC,BC,AB的长度分别是b,a,c.CD为h.求证：（1）c+h＞a+b.（2）以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形.
(1)设直角三角形的面积为S,则
S
=1/2*ab (两直角边乘积)
=1/2*ch (底边乘以高)
于是 ab=ch.
要证 c+h>a+b,只需证 (c+h)^2>(a+b)^2.
注意到
(c+h)^2
=c^2+2hc+h^2 (利用c是斜边,c^2=a^2+b^2)
=a^2+b^2+2ab+h^2
=(a+b)^2+h^2 (***)
即(c+h)^2=(a+b)^2+h^2,从而 (c+h)^2>(a+b)^2,c+h>a+b.
(2)由(1)知c+h>a+b,又因为c+h>h,所以如果以a+b,c+h,h三边可以构成直角三角形,一定有c+h是斜边,因此只要验证 (c+h)^2=(a+b)^2+h^2.这在上面已经验证(见***式).于是a+b,c+h,h可构成直角三角形,且c+h是斜边.
证明：
(1)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²，
∵a²+b²=c²，2ab=2ch（由面积可得）
∴(c+h)²＞(a+b)²
∴c+h＞a+b
(2)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²，(c+h)²=c²...
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证明：
(1)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²，
∵a²+b²=c²，2ab=2ch（由面积可得）
∴(c+h)²＞(a+b)²
∴c+h＞a+b
(2)
∵(a+b)²=a²+2ab+c²，(c+h)²=c²+2ch+h²
∴(c+h)²=(a+b)²+h²
∴以a+b,c+h,h为三边可构成直角三角形
收起
(1) ∵(a+b)²=a²+2ab+c²，
∵a²+b²=c²，2ab=2ch
∴(c+h)²＞(a+b)²
∴c+h＞a+b
(2)因为 直角三角形 所以 c^2=a^2+b^2， c*h=a*b
(a+b)^2=c^2+2ch
所以 (a+b)^2+h^2=(c+h)^2
所以 可以构成直角三角形