已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6貌似是题目错了只能证 t<6

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/19 08:56:56
已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+(根号3c+2),求证:t≤6貌似是题目错了只能证t<6已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)

已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6貌似是题目错了只能证 t<6
已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6
貌似是题目错了只能证 t<6

已知a,b,c都是正数,a+b+c=1,设t=(根号3a+2)+(根号3b+2)+( 根号3c+2),求证:t≤6貌似是题目错了只能证 t<6
证:
已知a>0,b>0,c>0,a+b+c=1
设X=√(3a+2),Y=√(3b+2),Z=√(3c+2)
则t=X+Y+Z
X^2=(3a+2),Y^2=(3b+2),Z^2=(3c+2)
X^2+Y^2+Z^2=(3a+2)+(3b+2)+(3c+2)=3*(a+b+c)+6=9
∵(X-Y)^2≥0,(Y-Z)^2≥0,(X-Z)^2≥0
∴2XY≤X^2+Y^2,2YZ≤Y^2+Z^2,2XZ≤X^2+Z^2
t=X+Y+Z
t^2=X^2+Y^2+Z^2+(2XY)+(2YZ)+(2XZ)
≤X^2+Y^2+Z^2+(X^2+Y^2)+(Y^2+Z^2)+(X^2+Z^2)
=3*(X^2+Y^2+Z^2)=3*9=27
即t^2≤27
故t的最大值=√27=3√3