如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积(A在X负半轴,对称轴X=1)

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 13:02:23
如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积(A在X负半轴,对称轴X=1)如

如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积(A在X负半轴,对称轴X=1)
如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D
若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积(A在X负半轴,对称轴X=1)

如图,已知抛物线Y=X^2+BX+C与一条直线交与A(-1,0)C(2,3)两点,与Y轴交于点N 其顶点为D若P是该抛物线上位于直线AC上方一动点,求三角形APC最大面积(A在X负半轴,对称轴X=1)

问:

 

 

如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于A(-1,0),C(2,3)两点,与y轴交于点N.其

顶点为D

(1)抛物线及直线AC的函数关系式;

(2)设点M(3,m),求使MN+MD的值最小时m的值;

(3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,E为直线AC上的任意一点,过点E作EF∥BD交抛物线于点F,以B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形?若能,求点E的坐标;若不能,请说明理由;

(4)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值.

 

分析:

(1)利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式;

(2)根据两点之间线段最短作N点关于直线x=3的对称点N′,当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小;

(3)需要分类讨论:①当点E在线段AC上时,点F在点E上方,则F(x,x+3)和②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,则F(x,x-1),然后利用二次函数图象上点的坐标特征可以求得点E的坐标;

(4)方法一:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q;过点C作CG⊥x轴于点G,如图1.设Q(x,x+1),则P(x,-x²+2x+3).根据两点间的距离公式可以求得线段PQ=-x²+x+2;最后由图示以及三角形的面积公式知S△APC=-3/2(x-1/2)²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

方法二:过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图2.设Q(x,x+1),则P(x,-x²+2x+3).根据图示以及三角形的面积公式知S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC=-3/2(x-1/2)²+27/8,所以由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值;

 

(1)由抛物线y=-x²+bx+c过点A(-1,0)及C(2,3)得,

-1-b+c=0

-4+2b+c=3     

解得,b=2,c=3     

故抛物线为y=-x²+2x+3

又设直线为y=kx+n过点A(-1,0)及C(2,3)得

-k+n=0

2k+n=3     

解得,k=1,n=1     

故直线AC为y=x+1;

 


 

 

(2)如图1,作N点关于直线x=3的对称点N′,则N′(6,3),由(1)得D(1,4),

故直线DN′的函数关系式为y=-1/5 x+21/5   ,

当M(3,m)在直线DN′上时,MN+MD的值最小,

则m=-1/5 ×3+21/5=18/5 ;

 

 

(3)由(1)、(2)得D(1,4),B(1,2),

∵点E在直线AC上,

设E(x,x+1),

①如图2,当点E在线段AC上时,点F在点E上方,

则F(x,x+3),

∵F在抛物线上,

∴x+3=-x²+2x+3,

解得,x=0或x=1(舍去)

∴E(0,1);

②当点E在线段AC(或CA)延长线上时,点F在点E下方,

则F(x,x-1)

由F在抛物线上

∴x-1=-x²+2x+3

解得x=(1-√17)/2   或x=(1+√17)/2 

∴E((1-√17)/2,﹙3-√17﹚/2)或(﹙1+√17﹚/2 ,﹙3+√17﹚/2)

综上,满足条件的点E的坐标为(0,1)、(﹙1-√17﹚/2,﹙3-√17﹚/2)或((1+√17)/2, ﹙3+√17﹚/2);

 

 

(4)方法一:

如图3,过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,

设Q(x,x+1),则P(x,-x²+2x+3)

∴PQ=(-x2+2x+3)-(x+1)

=-x²+x+2

又∵S△APC=S△APQ+S△CPQ

=1/2 PQ•AG

=1/2(-x²+x+2)×3

=-3/2(x-1/2)²+27/8 

 ∴面积的最大值为27/8.


方法二:

过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H;过点C作CG⊥x轴于点G,如图3,

设Q(x,x+1),则P(x,-x²+2x+3)

又∵S△APC=S△APH+S直角梯形PHGC-S△AGC

=1/2(x+1)(-x²+2x+3)+1/2(-x²+2x+3+3)(2-x)-1/2×3×3

=-3/2 x²+3/2 x+3

=-3/2(x-1/2)²+27/8 

 ∴△APC的面积的最大值为27/8.

 

点评:本题考查了二次函数综合题.解答(3)题时,要对点E所在的位置进行分类讨论,以防漏解.

 

有疑问可以追问哦.、.、

如图,已知:抛物线y=1/2x*2+bx+c与x 如图,抛物线y=x^2+bx+c经过坐标原点,并且与x轴交于点A 如图,已知抛物线y=ax^2+bx+c(b>0,c 如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴负半轴交于点A,与y轴正半轴交于点B,且OA=OB. 如图,抛物线y=ax^2+bx+c与x轴的一个交点A在点( 如图,已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于AB两点,与y轴交于点C,D为OC的中点如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6),且△ABE与△ABC的面积之比 二次函数以图形的相似如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D为OC的中点如图,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,D为OC的中点,直线AD交抛物线于点E(2,6), 如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0, 如图,已知抛物线Y=X2+BX+C的对称轴为X=2 A.B在抛物线,且AB与经X轴平行,其中点A的坐标为(0.3 ) B的坐标为 如图,抛物线y=ax^2+bx+c(a 如图已知经过原点的抛物线y=ax2+bx(a不等于0)经过A(-2,2),B(6,6)两点已知过原点的抛物线y=ax2+bx+c经过如图,已知经过原点的抛物线y=ax^2+bx(a≠0)经过A(-2,2),B(6,6)两点,与x轴的另一交点为F,直线AB与x轴 如图已知一交函数y=-2x+6的图像与x轴交于点A,与y轴交于点C,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图像过A,C两点,并且与x轴交于另一个点B(B在负半轴上)(1)当S△ABC=4S△BOC时,求抛物线y=ax²+bx+c的 如图,已知抛物线y=x2+bx+c交x轴与A(1,0),B(3,0)两点如图,已知抛物线y=x2+bx+c交与x轴与A(1,0),B(3,0)两点交y轴于点C,其顶点为D.(1)求b,c的值并写出抛物线的对称轴;(2) 连接BC,过点O作直线OE⊥BC 如图,已知抛物线y=ax平方+bx+3(a不等于0)与x轴交于A(1,0)和点B(-3,0),与y轴如图,已知抛物线y=ax平方+bx+3(a不等于0)与x轴交于点A(1,0)B(-3,0)与y轴交于点C 1、求此抛物线的解析式2、设抛物线的对 已知抛物线y=ax^2+bx+c与X轴交于A,B两点,与Y轴交于点C,且OB=OC=0.5OA,那么b的值为多少?如图 (2013•威海)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称 如图已知抛物线y=ax^2+bx+c与x轴交于A,B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,且对称 如图,已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,-1)已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上,与y轴的交点为B(0,-1),且b=-4ac.(1)求A的坐标(2)求抛物线的解析式(3)在抛物线上