大一微积分,函数f（x）的一个原函数是sinx^2 ,求∫xf'(x)dx
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 00:54:57
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分部积分
p.s.
如果你想说f（x）的一个原函数是（sinx）^2,方法一样.
答：sinx^2仅是x的平方吗？不是sinx的平方吧？
f(x)的一个原函数是sinx^2
则f(x)=(sinx^2)'
=2x(cosx^2)
所以：
∫ xf'(x)dx
=∫ x d[f(x)]
=xf(x)-∫ f(x) dx （此处利用分部积分法）
=xf(x)-sinx^2+C
=2(x^2)cosx^2-sinx^2+C
设原函数为F(x)=sinx^2,则F'(x)=f(x)=2sinxcosx=sin2x;f'（x）=2cos2x; 则∫xf'（x）dx=∫x*2cos2xdx=∫xcos2xd2x=∫xdsin2x=xsin2x-1/2∫sin2xd2x=xsin2x+1/2cos2x+C
由于f(x)的原函数为xsinx,所以∫f(x) dx=xsinx
∴对两边求导得f(x)=sinx+xcosx
∫xf'(x) dx=∫x d[f(x)]
下一步应该等于x*f(x)-∫f(x) dx,分部积分法
=x(sinx+xcosx)-xsinx+C
=xsinx+(x^2)cosx-xsinx+C
=(x^2)cosx+C
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