三角形ABC中 C=3 SinA+SinB=2√6•sinA•sinB A+B=120度 求三角形ABC的面积
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/08 09:01:05
三角形ABC中 C=3 SinA+SinB=2√6•sinA•sinB A+B=120度 求三角形ABC的面积
三角形ABC中 C=3 SinA+SinB=2√6•sinA•sinB A+B=120度 求三角形ABC的面积
三角形ABC中 C=3 SinA+SinB=2√6•sinA•sinB A+B=120度 求三角形ABC的面积
∵ A+B=120º
∴C=180º-(A+B)=60º
∵c=3
根据正弦定理
2R=c/sinC=3/(√3/2)=2√3
∴sinA=a/(2R)=a/(2√3)
sinB=b/(2R)=b/(2√3)
∵SinA+SinB=2√6•sinA•sinB
∴(a+b)/(2√3)=2√6*ab/12
∴a+b=√2ab
根据余弦定理
c²=a²+b²-2abcosC
9=a²+b²-ab=(a+b)²-3ab
∴2(ab)²-3ab-9=0
∴ab=3 (舍负）
∴SΔABC=1/2absinC=3/2*√3/2=3√3/4
因为c=3,c=2RSinC,所以R=√3，a=2RSinA,b=2RSinB,代入SinA+SinB=2√6•sinA•sinB,得a+b=√2ab, 因为A+B=120°，所以C=60°,2R=c/sinC,根据余弦定理c^2=a^2+b^2-2abcosC,a^2+b^2-ab=9, 得ab=3,所以三角形ABC的面积=1/2abSinC=3√3/4
A+B=120°， A-B=A-180°+A+C=2A-180°+60°=2A-120°，
SinA+SinB=2√6•sinA•sinB ，2Sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)=2√6［cos(A-B)-sin(A+B)］，
2Sin60°cos(A-60°)=2√6［cos(2A-120°)-cos120°］，√3co...
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A+B=120°， A-B=A-180°+A+C=2A-180°+60°=2A-120°，
SinA+SinB=2√6•sinA•sinB ，2Sin(A/2+B/2)cos(A/2-B/2)=2√6［cos(A-B)-sin(A+B)］，
2Sin60°cos(A-60°)=2√6［cos(2A-120°)-cos120°］，√3cos(A-60°)=√6［cos(2A-120°)+1/2］，
cos(A-60°)=√2［cos(2A-120°)+1/2］， cos(A-60°)=√2［2cos²(A-60°)-1/2］，
2cos²(A-60°)-√2/2*cos(A-60°)-1/2=0，cos(A-60°)=√2/2，
sinA•sinB =cos(A-60°)/2√2=1/4，所以三角形ABC的面积
S=c²sinA•sinB /［2Sin(A+B)］=9*1/4/√3=3√3/4。
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