设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0,2]上的最大值为0,求a的值；（II）若f（x）在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f（x）,α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围．
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/17 22:17:19
设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0,2]上的最大值为0,求a的值；（II）若f（x）在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f（x）,α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围．
设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．
（I）若f（x）在[0,2]上的最大值为0,求a的值；
（II）若f（x）在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f（x）,α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围．
设函数f（x）=x2+（2a+1）x+a2+3a（a∈R）．（I）若f（x）在[0,2]上的最大值为0,求a的值；（II）若f（x）在闭区间[α,β]上单调,且{y|y=f（x）,α≤x≤β}=[α,β],求α的取值范围．
（Ⅰ） 当-（2a+1）／2≤1,即：a≥-3／2时,f(x)max=f(2)=a2+7a+6=0．
故 a=-6（舍去）,或a=-1；
当-（2a+1）／2＞1,即：a＜-3／2时,f(x)max=f(0)=a2+3a=0．
故a=0（舍去）或a=-3．
综上得：a的取值为：a=-1或a=-3．
（Ⅱ） 若f（x）在[α,β]上递增,则满足：（1）-（2a+1）／2≤α；（2）\x09\x09f(α)=α,f(β)=β,
即方程f（x）=x在[-（2a+1）／2,+∞）上有两个不相等的实根．
方程可化为x2+2ax+a2+3a=0,设g（x）=x2+2ax+a2+3a,
则 \x09\x09：
-\x09（2a+1）／2＜-a
△＞0
g(-（2a+1）／2)≥0,解得：-1／12≤a＜0．
若f（x）在[α,β]上递减,则满足：
（1）-（2a+1）／2≥β；（2）\x09\x09f(α)=β,f(β)=α．
由\x09\x09α2+(2a+1)α+a2+3a=β
β2+(2a+1)β+a2+3a=α
得,两式相减得（α-β）（α+β）+（2a+1）（α-β）=β-α,即α+β+2a+1=-1．
即β=-α-2a-2．
∴α2+（2a+1）α+a2+3a=-α-2a-2,即α2+（2a+2）α+a2+5a+2=0．
同理：β2+（2a+2）β+a2+5a+2=0．
即方程x2+（2a+2）x+a2+5a+2=0在(-∞,-（2a+1）／2]上有两个不相等的实根．
设h（x）=x2+（2a+2）x+a2+5a+2,则\x09\x09-\x09（2a+1）／2＞-a-1
△＞0
h(-（2a+1）／2)≥0,解得：-5／12≤a＜-1／3．
综上所述：a∈[-5／12,-1／3)∪[-1／12,0)．