如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/24 13:39:26
如果A是n阶方阵,A=单位矩阵;A^k=E(单位矩阵),求证A可以对角化如果A是n阶方阵,A=单位矩阵;A^k=E(单位矩阵),求证A可以对角化如果A是n阶方阵,A=单位矩阵;A^k=E(单位矩阵),

如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化
如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化

如果A是n阶方阵,A = 单位矩阵;A^k = E(单位矩阵),求证A可以对角化
因为 A^k = E 所以 A可逆,即A的特征根非零.
如果A不可对角化,根据亚当标准型,存在 两个非零向量 x1,x2,及一个非零特征根a,使得:
Ax2 = a x2,Ax1 = ax1 + x2.
则:
A^2x1 = A(ax1 + x2) = a^2 x1 + 2ax2
A^3x1 = A(a^2x1 + 2ax2) = a^3 x1 + 3a^2 x2
.
A^k x1 = A(a^(k-1)x1 + (k-1)a^(k-2)x2) = a^k x1 + ka^(k-1)x2
A^k = E ==> A^k x1 = x1,===> ka^(k-1) = 0,矛盾!
所以A可以对角化

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