[200]高等数学幂级数的题目求和:∑(1/n²) ,n从1到∞
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 10:11:34
[200]高等数学幂级数的题目求和:∑(1/n²) ,n从1到∞
[200]高等数学幂级数的题目
求和:∑(1/n²) ,n从1到∞
[200]高等数学幂级数的题目求和:∑(1/n²) ,n从1到∞
无穷级数的求和一般用幂级数来做
但是此题用幂级数会有点复杂,积分的时候也很困难
所以改用傅里叶级数来做
请见下图
这玩意过程有点复杂，但有个一般式。
对于1/n^p这样的级数，当p>1时，它是收敛的，
存在一个界限：∑(1/n^p)<1+1/(p-1)
所以∑(1/n²)<2
它的极限就是2了。
算了算了。太难打了。浪费时间呀。
π² / 6.
这个是过程，你自己看吧。
http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunctionZeta2.html
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
全部展开
这个首先是由欧拉推出来的，要用到泰勒公式，属于大学范围
将sinx按泰勒级数展开：
sinx＝x－x^3/3!＋x^5/5!－x^7/7!＋ …
于是sinx/x＝1－x^2/3!＋x^4/5!－x^6/7!＋ …
令y＝x^2，有sin√y/√y＝1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋ …
而方程sinx＝0的根为0,±π,±2π,…
故方程sin√y/√y＝0的根为π²,(2π)²,…
即1－y/3!＋y^2/5!－y^3/7!＋…＝0的根为π²,(2π)²,…
由韦达定理，常数项为1时，根的倒数和＝一次项系数的相反数
即1/π²＋1/(2π)²＋…＝1/3!
故1＋1/2²＋1/3²＋ … ＝π²/6
收起
x²在[-π,π]上按余弦展开成傅里叶级数[下面∑都是1≤n≤+∞]
x²＝π²/3+4∑｛[（-1）^n/n²]cosnx ｝ （-π≤x≤π）（*）
令x＝π.即得 π²＝π²/3+4∑｛[（-1）^n/n²]（-1）^n.
∴ ∑｛1/n²）＝π²/6.
（*）x&...
全部展开
x²在[-π,π]上按余弦展开成傅里叶级数[下面∑都是1≤n≤+∞]
x²＝π²/3+4∑｛[（-1）^n/n²]cosnx ｝ （-π≤x≤π）（*）
令x＝π.即得 π²＝π²/3+4∑｛[（-1）^n/n²]（-1）^n.
∴ ∑｛1/n²）＝π²/6.
（*）x²是偶函数，可以按余弦展开
x²＝a0/2+∑an cosnx.
a0＝（2/π）∫[0,π]x²dx＝2π²/3.
an＝（2/π）∫[[0,π]x²cos nxdx＝
＝（2/π）[（x²/n）sin nx+（2x/n²）cos nx-（2/n³）sin nx]在[0,π]值差
＝[（-1）^n]4/n². 代入即得（*）[这应该是迄今最直接的方法。]
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