数学导数证明题f（x）=4x/（x^2+1） 若对于任意0＜x1＜x2＜1,存在x0,使得f（x0）的导数=f（x2）-f（x1）/（x2-x1） 求证x1＜x0的绝对值＜x2.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 19:13:58
数学导数证明题f（x）=4x/（x^2+1） 若对于任意0＜x1＜x2＜1,存在x0,使得f（x0）的导数=f（x2）-f（x1）/（x2-x1） 求证x1＜x0的绝对值＜x2.
数学导数证明题
f（x）=4x/（x^2+1） 若对于任意0＜x1＜x2＜1,
存在x0,使得f（x0）的导数=f（x2）-f（x1）/（x2-x1） 求证x1＜x0的绝对值＜x2.
数学导数证明题f（x）=4x/（x^2+1） 若对于任意0＜x1＜x2＜1,存在x0,使得f（x0）的导数=f（x2）-f（x1）/（x2-x1） 求证x1＜x0的绝对值＜x2.
你应该求得出
（1）f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
（2）[ f(x2)-f(x1)] /（x2-x1）=4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
（发现形式很像）
研究函数g(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2性质,可得其在（0,1）上递减
不妨假设|x0|=x1,则g(x1)>4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
再假设 |x0|=x2,则g(x2)
你是高中生吗？如果不是高中生的话这个题目就是拉格朗日中值定理啊，恩 我是高中生 知道一点拉格朗日定理 但高中题目又不能用你是高中生吗？如果不是高中生的话这个题目就是拉格朗日中值定理啊，如果你是高中生的话请看下面证明，这个题目具有特殊性，我们证明一般的，f(x)是连续可导的任意函数 令g(x)=f(x)-f(x1)-f(x1)-(f(x2)-f(x1)(x-x1)/(x2-x1) 你仔细观察就会...
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你是高中生吗？如果不是高中生的话这个题目就是拉格朗日中值定理啊，
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f ' (x0)=（4-4x0²）/（x0^4+2x0²+1）
f(x2)-f(x1)/(x2-x1)=(4-4x1x2)/(x1²x2²+x1²+x2²+1)
f ' (x0)=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)
由上三式知x0²=x1x2 ① x1²+x2²=2x0&...
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f ' (x0)=（4-4x0²）/（x0^4+2x0²+1）
f(x2)-f(x1)/(x2-x1)=(4-4x1x2)/(x1²x2²+x1²+x2²+1)
f ' (x0)=f(x2)-f(x1)/(x2-x1)
由上三式知x0²=x1x2 ① x1²+x2²=2x0²②
②式两边同时加上2x1x2得(x1+x2)²=2x0²+2x1x2=4x0²③
③两边同时开方得x1+x2=2 |x0|
即(x1+x2)/2= |x0|所以 |x0|是x1和x2的中数
所以x1＜x0的绝对值＜x2
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先把f(x)求导得到f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2，显然x0正负不影响导数值，不妨设是正的好了，看到
f（x2）-f（x1）/（x2-x1）当然会想到中值定理，0
你应该求得出
（1）f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
（2）[ f(x2)-f(x1)] /（x2-x1）=4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
（发现形式很像）
研究函数g(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2性质，可得其在（0,1）上递减
不妨假设|x0|=x1，则g(x1)>4(1-x1x2)/(x1^2+1)(...
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你应该求得出
（1）f'(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2
（2）[ f(x2)-f(x1)] /（x2-x1）=4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
（发现形式很像）
研究函数g(x)=4(1-x^2)/(x^2+1)^2性质，可得其在（0,1）上递减
不妨假设|x0|=x1，则g(x1)>4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
再假设 |x0|=x2，则g(x2)<4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1)
由其单调性可知，必定存在|x0|，且x1＜|x0|＜x2，使得g(x0)-4(1-x1x2)/(x1^2+1)(x2^2+1) 有唯一零点，故得证！
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