求证：若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/15 12:21:39
求证：若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数.
求证：若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数.
求证：若整数系数方程ax^2+bx+c=0(a不等于0)有有理根,则a,b,c中至少有一个是偶数.
将两根化成同分母的两数：
x1=k/n, x2=t/n, 这里k, t,n都是整数,且(k,t,n)=1
则由根与系数的关系有: k/n+t/n=-b/a, kt/n^2=c/a
即k+t=-bn/a, kt=cn^2/a
假设a,b,c都为奇数
若n为奇数,则cn^2/a, bn/a都为奇数,则kt为奇数表明k,t都为奇数,但这样的话k+t就为偶数了,矛盾.
若n为偶数,则cn^2/a,bn/a都为偶数,k+t为偶数表明k,t同奇或同偶,而kt也为偶数则表明k,t都同是偶数.这样(k,t,n)至少有公因数2了,与(k,t,n)=1矛盾.
所以假设不成立
故得证.
证：
x1，2=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
-b，2a均为整数，要方程的根为有理数，√(b²-4ac)为有理数，设√(b²-4ac)=m (m为非负有理数)
b²-4ac=m²
等式左边为整数，要等式成立，m为整数。
m²-b²=4ac
(m+b)(m-b)=4ac
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证：
x1，2=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)
-b，2a均为整数，要方程的根为有理数，√(b²-4ac)为有理数，设√(b²-4ac)=m (m为非负有理数)
b²-4ac=m²
等式左边为整数，要等式成立，m为整数。
m²-b²=4ac
(m+b)(m-b)=4ac
4为偶数，等式右边为偶数，又m+b，m-b同奇或同偶，因此m+b，m-b只能同为偶数，因此m，b同奇或同偶。
m为偶数时，b为偶数，满足题意。
m为奇数时，b为奇数，令m=2k-1，b=2p-1 (k，p为整数)
4ac=(2k-1)²-(2p-1)²
=(2k-1+2p-1)(2k-1-2p+1)
=(2k+2p-2)(2k-2p)
=4(k+p-1)(k-p)
ac=(k+p-1)(k-p)
k+p，k-p同奇或同偶，k+p，k-p同为奇数时，k+p-1为偶数；k+p，k-p同为偶数时，k-p为偶数，即等式右边为偶数，要等式成立，a，c中至少有一个是偶数。
综上，得若整数系数方程ax²+bx+c=0(a不等于0)有有理根，则a,b,c中至少有一个是偶数。命题成立。
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