怎么证明自然对数e的两种定义是等价的?e=1!的倒数+2!的倒数+…+n!的倒数 的极限和e=（1+x的倒数)^x的极限为什么这两种形式是一样的,怎么证明?没有高数的课本C(i,x)x^(-i)和1/i明明不一样嘛
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 11:37:16
怎么证明自然对数e的两种定义是等价的?e=1!的倒数+2!的倒数+…+n!的倒数 的极限和e=（1+x的倒数)^x的极限为什么这两种形式是一样的,怎么证明?没有高数的课本C(i,x)x^(-i)和1/i明明不一样嘛
怎么证明自然对数e的两种定义是等价的?
e=1!的倒数+2!的倒数+…+n!的倒数 的极限
和
e=（1+x的倒数)^x的极限
为什么这两种形式是一样的,怎么证明?
没有高数的课本
C(i,x)x^(-i)和1/i明明不一样嘛
怎么证明自然对数e的两种定义是等价的?e=1!的倒数+2!的倒数+…+n!的倒数 的极限和e=（1+x的倒数)^x的极限为什么这两种形式是一样的,怎么证明?没有高数的课本C(i,x)x^(-i)和1/i明明不一样嘛
我来给你说说吧：
e=lim(1+ 1/n)^n ------(n→+∞) 这个是e的定义.
下面就来给你说为什么 e=1/0!+ 1/1!+1/2!+1/3!+.1/n!
令 An=(1+ 1/n)^n
=1^n + n*1/n + (1/2!)*(1- 1/n) + （1/3!）*（1-1/n)(1-2/n) +...+ （1/n!）*（1-1/n)(1-2/n).(1- (n-1)/n)
An是单调增的序列 把 第k+1,k+2.n 项去掉得到：
An> 2+(1/2!)*(1- 1/n) + （1/3!）*（1-1/n)(1-2/n)+.+（1/k!）*（1-1/n)(1-2/n).(1- (k-1)/n) =Xk
固定k让n 趋近无穷 ,那么括号里面全都是1,就有：
e>2+ 1/2!+1/3!+1/4!+...+1/k!= Yk >Xk
可以看出 对于任何自然数k 恒有不等式：
Xk< Yk < e
当k趋近于无穷大时 有Xk=e 根据夹逼准则有 Yk =e ---(k→+∞）
所以有 e = 1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+.+1/n!
你上大学后就明白了
突然想到可以给你换个说法：
当 n 等于一个具体的数时,这两个东西不相等
比如 n=100
(1+ 1/100)^100 ≠ 1/0!+.+1/100!
但是当n趋近于无穷大时 它们都=e.
你必须清楚“趋近于无穷大”这个概念你才能理解这个东西