已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1】上的最大值

来源:学生作业帮助网 编辑:六六作业网 时间:2024/12/26 17:30:26
已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)=x^3+bx当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1】上的最大值已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)

已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1】上的最大值
已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间
(-∞,-1】上的最大值

已知函数f(x)=ax^2+1(a>0)g(x)=x^3+bx 当a^2=4b时,求函数f(x)+g(x)的单调区间,并求其在区间(-∞,-1】上的最大值
令h(x)=f(x)+g(x)=x^3+ax^2+bx+1
求导得:h'(x)=3x^2+2ax+b
由a>0及a^2=4b知:
h'(x)=3x^2+2ax+b=h'(x)=3x^2+2ax+a^2/4=(3x+a/2)(x+a/2)
h'(x)=0得x=-a/2 ,x=-a/6
所以h(x)=f(x)+g(x)的单调增区间为(-∞,-a/2]∪[-a/6,+∞),单调减区间为[-a/2,-a/6]

要求h(x)在(-∞,-1]最大值,就需要讨论a(a>0):
1)-1≤-a/2,即02)-a/2<-1<-a/6,即2 所以最大值为h(-a/2)=-a^3/8+a^3/4-ab/2+1=1
3)-a/6≤-1,即a≥6时,h(x)在(-∞,-a/2]∪[-a/6,-1]上单调递增,在[-a/2,-a/6]上单调递减
所以最大值在x=-a/2和x=-1之间取得
h(-a/2)=1 h(-1)=a-a^2/4=-(a/2-1)^2+1<1
故最大值为h(-a/2)=1
综上所述: 0 a>2时,最大值为1

单调增区间 (-∞,-a/2),(-a/6,+∞)
当0<a≤2时 最大值为F(-1)
当2<a≤6时 最大值F (-a/2)
当6≤a时 最大值为F(-1)与F(-a/2)中大的那个

F(x)=f(x)+g(x)=ax^2+1+x^3+bx
F'(x)=3x^2+2ax+b=3x^2+2ax+a^2/4=1/4(12x^2+8ax+a^2)=1/4(2x+a)(6x+a)
F'(x)>0,时有x<-a/2,x>-a/6,即单调增区间是(-无穷,-a/2)U(-a/6,+无穷)
F'(x)<0时有-a/2