已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/20 05:23:22
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
已知圆C:(x-3)^2+(y-4)^2=4及两点A(-1,0),B(1,0),P(x,y)为圆C上任意一点,求|AP|^2+|BP|^2的最小值
我给提供2种方法吧,现在要去上班,晚上回来再补充,先占个位!
下班了...
一个方法和上面的朋友的方法相同（英雄所见略同啊）
方法一：用到一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（坐标法,向量法,余弦定理均可证明）
把平行四边形切去一半,剩下三角形和中线,由上面的结论可得,|AP|^2+|BP|^2＝(4PO^2+AB^2)/2,其中o为坐标原点.故,要想所求平方和最小,只需PO最小（AB=2为已知）
显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝(36+4)/2=20
方法二（和方法一殊途同归）
设P点坐标为（x,y）,则|AP|^2+|BP|^2=(x+1)^2+y^2+(x-1)^2+y^2=2(x^2+y^2)+2=2PO^2+2
要想上式最小,只需PO最小,显然OPC共线时PO最小,其中C为圆心.
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值=20
P点用sin和cos来设，这样就一个参数角
本题要用一个结论：平行四边形对角线的平方和等于四条边的平方和（用余弦定理可证）
|AP|^2+|BP|^2＝1/2(4PO^2+AB^2)
PO的最小值＝|OC|-2=3
故|AP|^2+|BP|^2的最小值＝1/2(36+4)=20