已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/26 18:54:50
已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形
已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形
已知四面体abcd,ab=cd,ac=bd,ad=bc 证明四个面都是锐角三角形
∵AB=CD,AC=BD,AD=BC
∴ 四个三角形全等
若有一个是直角或钝角三角形,那
么它们都是直角或钝角三角形.
令AB=CD=m,AC=BD=n,AD=BC=l
不妨设m≥n≥l,
假设ΔABC和ΔABD是直角三角形
则大边AB所对角 ∠ADB=∠ACB=90º
将面ABC与面ABD展平成一个面,
AC=BD,AD=CB
此时ACBD是矩形,AB=CD,
设AB∩CD=M,将面ABD沿AB
折起,ΔDMC中,DM+CM>CD,
而DM+CM=AB,则AB>CD矛盾.
假设ΔABC和ΔABD是钝角三角形
则大边AB所对角 ∠ADB=∠ACB>90º
同样将面ABC与面ABD展平成一个面,
此时ACBD是形平行四边形,长对角
线AB>CD,已经矛盾.若再折起面ABD
那么CD与AB的差距将会更大.矛盾
所以四个面都是锐角三角形.
可以发现四个三角形是全等三角形。ab、ac、bc不一定相等。
假设三角形都是直角三角形，一定不能构成四面体（最多只能3个）。
假设三角形都是钝角三角形，一定不能构成四面体（最多只能3个）。
证明过程可以用边来证，比如ab边为斜边时...
全部展开
可以发现四个三角形是全等三角形。ab、ac、bc不一定相等。
假设三角形都是直角三角形，一定不能构成四面体（最多只能3个）。
假设三角形都是钝角三角形，一定不能构成四面体（最多只能3个）。
证明过程可以用边来证，比如ab边为斜边时
收起
如图，补成长方体。
设长方体棱长a,b,c
则AB²=CD²=a²+b²,AC²=BD²=b²+c²,AD²=BC²=a²+c²
（1）要证四面体每个面的三角形为锐角三角形，我们分析其中一个三角形的一个角x
cosx=(a²+b²...
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如图，补成长方体。
设长方体棱长a,b,c
则AB²=CD²=a²+b²,AC²=BD²=b²+c²,AD²=BC²=a²+c²
（1）要证四面体每个面的三角形为锐角三角形，我们分析其中一个三角形的一个角x
cosx=(a²+b²+b²+c²-a²-c²)/2mn>0 (余弦定理）
所以x是锐角。所以四面体每个面的三角形为锐角三角形
（2）面BCD与面ABD的夹角的补角，即面BCD与面MDNB的夹角加上面ABD与面MDNB的夹角。
面BCD与面MDNB的夹角的正切求得是a√(b²+c²)/(bc)
面ABD与面MDNB的夹角的正切也是a√(b²+c²)/(bc)
面BCD与面ABD的夹角的正切=2abc√(b²+c²)/(a²b²+a²c²-b²c²) （正切2倍角）
面BCD与面ABD的夹角的余弦=(a²b²+a²c²-b²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)=cos1
同理写出cos2，cos3，得cos1+cos2+cos3=1
也可以用向量法
比如以M为原点建系
写出四个面的方程为：
x/a+y/b+z/c=1,
-x/a+y/b+z/c=1,
x/a-y/b+z/c=1,
x/a+y/b-z/c=1,
其法向量分别为
(1/a,1/b,1/c)
(-1/a,1/b,1/c)
(1/a,-1/b,1/c)
(1/a,1/b,-1/c)
夹角余弦：
cos1=(a²b²+a²c²-b²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
cos2=(a²b²+c²c²-a²c²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
cos3=(b²c²+a²c²-a²b²)/(a²b²+a²c²+b²c²)
则cos1+cos2+cos3=1
收起
证明：显然四个面全等，考虑一个顶点，其三个角和为180，（这三角是一个三角形内角）
且能构成立体状的，所以任意两角之和大于第三角，所以最大角小于180/2=90,
命题得证