已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值

来源：学生作业帮助网编辑：六六作业网时间：2024/11/08 17:07:01

已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)

已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值
已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值

已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值
∵sinαcos(α+β)=sinβ=sin(α+β-α)
sinαcos(α+β)=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα
∴2cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα
两边同除cos(α+β)cosα
∴2tanα=tan(α+β)
设tanα=t,tan(α+β)=2t
tanβ=[tan(α+β)-tanα]/[1+tan(α+β)tanα]
=(2t-t)/(1+2t*t)
=t/(1+2t*t)=1/(1/t+2t)
当1/t=2t即t=√2/2时
tanβ取最大值,
tanβ=1/2√2=√2/4,tan(α+β)=2t=√2

全部展开

由sinαcos(α+β)=sinβ，得到：sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)=sinβ;
sinαcosαcosβ-sin²αsinβ=sinβ,sinαcosαcosβ=(sin²α+1)sinβ,
tanβ=sinαcosα/(1+sin²α)
=sinαcosα/(cos²α+2sin²α)(本步采用分子分母同除以cos²α的方法，变弦为切)
=tanα/(1+2tan²α)=1/[2tanα+(1/tanα)],
因为2tanα+(1/tanα)>=2√2,所以tanβ<=1/(2√2)=√2/4,
所以tanβ最大值是tanβ=√2/4,当tanβ取得最大时，则：2tanα=(1/tanα)
得到：tan²α=1/2,tanα=√2/2;
所以：tan(α+β)=（tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)=（√2/2+√2/4)/(1-1/4)=√2;
即：tan(α+β)=√2。

收起

已知α,β都是锐角,且cos(α+β）=-1/3,cosα=5/13,求sin(2α+β）和cosβ值已知α,β都是锐角,且cos(α+β）=-1/3,cosα=5/13,求sin(2α+β）的值已知α,β都是锐角,且sinβ=sinαcosα（α+β）若α+β=π/4,求tanβ的值. 已知α、β都是锐角,且sinβ=sinαcos(α+β).当tanβ去最大值时,求tan((α+β)的值. 已知α,β都是锐角,且sinαcos(α+β)=sinβ,当tanβ取最大值时,求tan(α+β)的值已知α β都是锐角且满足sinβ=sinα cos(α +β)若α +β=45度则TANβ= 已知α,β都是锐角,且sinα=12/13,cos(α+β)=-4/5,则cosβ的值已知cosα=3/5,cos（α+β）=5/-13,α ,β都是锐角,则cosβ=已知sinα=已知cosα=3/5,cos（α+β）=5/-13,α ,β都是锐角,则cosβ=已知sinα=3/5,且α为第二象限角,则tanα的值为已知α和β都是锐角,且sinα=13分之5,cos（α+β）=-5分之4,则sinβ的值是? 已知α,β都是锐角,sinα=3/5cosβ=5/13则cos(α+β)= 已知α,β都是锐角,sinα=4/5,cos(α+β)=5/13,sinβ= 已知α、β都是锐角,sinα=4/5,cos(α+β)=5/13,求sinβ 设α、β、γ都是锐角,证明:sinα/cosβ+sinβ/cosγ+sinγ/cosα 已知α,β都是锐角,且cos(α+β)=3/5,sin(α-β)=3/4,求cos2α且α-β?cos(a-b)和sin(a+b)怎么算? 已知αβ都是锐角,且tanα=1,则cos(α-β)/sin(α+β)=要步骤.谢了. 已知α,β都是锐角,且sin(π-α)=3/5,cos(α+β)=5/13,(1)求cos2α的值已知α β都是锐角,且COSα=2/根号5,Sinβ=3/根号10,求α-β的值已知α,β都是锐角,且cos（α+β）=-1/3,cosa=5/13,求sin（2α+β）的值