关于正五边形的证明【待发】关于正五边形的求证.内容：尺规作正五边形,画一个圆O,作一条直径MN垂直于另一条直径XY,取OY的中点P,连接PM,以P为圆心PM为半径作圆弧交OX于Q,连接MQ,再以M为圆心M
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/25 06:34:23
关于正五边形的证明【待发】关于正五边形的求证.内容：尺规作正五边形,画一个圆O,作一条直径MN垂直于另一条直径XY,取OY的中点P,连接PM,以P为圆心PM为半径作圆弧交OX于Q,连接MQ,再以M为圆心M
关于正五边形的证明
【待发】关于正五边形的求证.内容：尺规作正五边形,画一个圆O,作一条直径MN垂直于另一条直径XY,取OY的中点P,连接PM,以P为圆心PM为半径作圆弧交OX于Q,连接MQ,再以M为圆心MQ为半径作另一条弧交圆于点A,MA即为正五边形的边,最后在圆上截取另外四段与MA相同的线段相连,即为正五边形.求证以上画法作出的五边形为正五边形.
关于正五边形的证明【待发】关于正五边形的求证.内容：尺规作正五边形,画一个圆O,作一条直径MN垂直于另一条直径XY,取OY的中点P,连接PM,以P为圆心PM为半径作圆弧交OX于Q,连接MQ,再以M为圆心M
打这么多字真累啊,嗯,再有不明白的地方百度HI我.
设圆O的半径为R.
那么OP=R/2
RT△OMP有勾股定理：MP=√(OM²+OP²)=√[R²+(R/2)²]=[(√5)/2]R
又因为PQ=PM=[(√5)/2]R
所以OQ=PQ-PO=[(√5)/2]R-R/2=[(√5-1)/2]R
RT△OMQ有勾股定理：MQ=√(OM²+OQ²)=√[R²+OQ²]=(1/2)*√(10-2√5)*R
又因为MA=MQ
所以MA=(1/2)*√(10-2√5)*R
以上步骤是按照题设的尺规作图方法计算的.
如果要证明此方法画出的图形是正五边形,那么需要证明MA这段线段对应的圆心角∠MOA=72°
能证明命题就成立,不能证明命题就不成立.
现在过O点作MA的垂线OB,易知：BM=(1/2)MA=(1/4)*√(10-2√5)*R
所以sin∠MOB=BM/OM=BM/R=(1/4)*√(10-2√5)…………【1】
因为有：sin54°=cos36°
所以：sin(3*18)°=cos(2*18)°
又因为：
sin(3*18)°= -4(sin18°)³+3sin18°【三倍角公式】
cos(2*18)°=1-2(sin18°)²【二倍角公式】
所以-4(sin18°)³+3sin18°=1-2(sin18°)²
整理得：
4(sin18°)³-2(sin18°)²-3sin18°+1=0
因式分解后得：
(sin18°-1)[4(sin18°)²+2sin18°-1]=0
共有三个
sin18°=1【舍去】
sin18°=(-1+√5)/4
sin18°=(-1-√5)/4【舍去】
因此sin18°=(-1+√5)/4
所以由二倍角公式：
sin36°=2sin18°cos18°=[√(10-2√5)]/4…………【2】
根据【1】和【2】发现：
sin36°=sin∠MOB
即∠MOB=36°
所以∠MOA=72°得证.
所以原命题得证.