正方形ABCD内有一点P,已知PA=根号2,PC=3倍根号2,∠APB=135°求PB、PD的长度.
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/26 21:07:47
正方形ABCD内有一点P,已知PA=根号2,PC=3倍根号2,∠APB=135°求PB、PD的长度.
正方形ABCD内有一点P,已知PA=根号2,PC=3倍根号2,∠APB=135°求PB、PD的长度.
正方形ABCD内有一点P,已知PA=根号2,PC=3倍根号2,∠APB=135°求PB、PD的长度.
以B为旋转中心,将ΔCPB顺时针旋转90°,使CB与AB重合,P移至Q点,连PQ.
则BP=BQ,AQ=CP.
对于△BPQ,易得∠QBP=90°,且BP=BQ,则∠BPQ=∠BQP=45°,
所以∠APQ= 135-45 = 90°,AQ=CP=3√2,AP=√2,则PQ=4,所以BP=2√2
同理,通过逆时针旋转ΔAPB,可以得到PD=√10
令x=PB
x^2+2-2*x*sqrt(2)*cos135=a^2
a=sqrt(x^2+2x+2)
a/sin135=sqrt(2)/sinABP
sinABP=1/a
sinABP=cosPBC=(a^2+x^2-18)/2ax
推出，x=sqrt(8),PB=2倍根号2
将三角形ADP平移至BCQ，连接PQ，交BC于H
则 ...
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令x=PB
x^2+2-2*x*sqrt(2)*cos135=a^2
a=sqrt(x^2+2x+2)
a/sin135=sqrt(2)/sinABP
sinABP=1/a
sinABP=cosPBC=(a^2+x^2-18)/2ax
推出，x=sqrt(8),PB=2倍根号2
将三角形ADP平移至BCQ，连接PQ，交BC于H
则 QH为三角形BCQ的高
BQ^2-BH^2=QH^2=CQ^2-CH^2
2-(x/a)^2=CQ^2-(a-x/a)^2
推出，CQ=sqrt(x^2+4)=sqrt(12)=2倍根号3
收起
① 如图，把ABCD绕B逆时针旋转90°，P到达Q.⊿BPQ等腰直角。∴∠APQ＝90° PQ＝√（27-2）＝5,BP＝5/√2＝2.5√2. ② 如图，把ABCD绕A逆时针旋转90°，P到达R.⊿APR等腰直角。∴∠PRD=90° PD²＝（√2PA）²+RQ²＝4+12.5＝16.5。 ∴PD＝√（33/2）