在正方形ABCD中,点E在AB延长线上,M是AB上任一点,DM垂直MN,BN平分角CBE,DN相交BC于F,求证：MN平分角FMB
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/24 08:57:38
在正方形ABCD中,点E在AB延长线上,M是AB上任一点,DM垂直MN,BN平分角CBE,DN相交BC于F,求证：MN平分角FMB
在正方形ABCD中,点E在AB延长线上,M是AB上任一点,DM垂直MN,BN平分角CBE,DN相交BC于F,求证：MN平分角FMB
在正方形ABCD中,点E在AB延长线上,M是AB上任一点,DM垂直MN,BN平分角CBE,DN相交BC于F,求证：MN平分角FMB
（1）先证DM=MN．
在AD上取一点H,使DH=MB,连接HM．
∵四边形ABCD是正方形,BN平分∠CBE,DM⊥MN,
∴∠DHM=∠MBN=135°,
∠BMN+∠AMD=90°,∠HDM+∠AMD=90度,
∴∠BMN=∠HDM,∴△DHM≌△MBN,∴DM=MN
（2）证MN平分角FMB
由△DHM≌△MBN,∴∠ADM=∠BMN
三角形DMN是等腰直角三角形.
过N作NK⊥OB交AB延长线于K,∴BK=KN=AM,
过M作MG‖AD‖BF‖NK,
∴DG/GF=AM/MB FN/GF=BK/MB（平行线截线段成比例）
∴DG=FN ∴△MDG≌△MNF,
∴∠NMF=∠DMG=∠ADM=∠BMN,
∴∠NMF=∠BMN,即MN平分∠MFB.
（1）先证DM=MN．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠DHM=∠MBN=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN
（2）证MN平分角FMB
由△DHM≌△MBN，∴∠ADM=∠BM...
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（1）先证DM=MN．
在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM．
∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，
∴∠DHM=∠MBN=135°，
∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90度，
∴∠BMN=∠HDM，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN
（2）证MN平分角FMB
由△DHM≌△MBN，∴∠ADM=∠BMN
三角形DMN是等腰直角三角形。
过N作NK⊥OB交AB延长线于K，∴BK=KN=AM，
过M作MG‖AD‖BF‖NK，
∴DG/GF=AM/MB FN/GF=BK/MB（平行线截线段成比例）
∴DG=FN ∴△MDG≌△MNF，
∴∠NMF=∠DMG=∠ADM=∠BMN，
∴∠NMF=∠BMN，即MN平分∠MFB。
收起
证明：在AD上截取AP=AM因为AD=BA ∴PD=BM ∴∠MPD=∠NBM=135° ∠BMN=∠PDM ∴△PDM≅△BMN ∴MD=MN ∴∠MDN=45° 把△DAM绕D点逆时针旋转90到△DCG的位置， 则DM=DG AM=CG ∠ADM=∠CDG 因为∠ADM+∠CDF=90°-∠MDN=45° ∴∠GDF=∠GDC+∠CDF=∠ADM+∠CDF=45°=∠MDN DF=DF ∴△DGF≅△DMF 作MH⊥DN于H,DK⊥MF于K,则DC=DH (全等三角形对应边上的高相等) ∴RT△DCF≅RT△DHF(HL) ∴∠CDF=∠HDF 同理 ∠ADM=∠HDM 因为∠BMN=∠ADM(同为∠AMD的余角) ∴∠BMN=∠HDM 易知△FHD∼△FKN ∠FMK=∠FDH 因为∠NMF+∠FMK=∠NMK=45° ∠BMN+∠CDF=∠HDM+∠FDH=45° ∴∠BMF=∠FMN 即MN平分∠FMB 
这道题用“四点共圆”的方法可以非常方便地求证，楼上几个证明方法有点繁琐而且中间有个别敲错字母，看得晕乎乎的。。。