如图,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D.F分别在AB.AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/12/18 13:30:05
如图,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D.F分别在AB.AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF
如图,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D.F分别在AB.AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF
如图,△ABC是等腰直角三角形,四边形ADEF是正方形,D.F分别在AB.AC边上,此时BD=CF,BD⊥CF
问题是什么
求图
解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
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解（1）BD=CF成立．
理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，
∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，
∵∠BAD=∠BAC-∠DAC，∠CAF=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
AB=AC ∠BAD=∠CAF AD=AF
∴△BAD≌△CAF（SAS）．
∴BD=CF．…（3分）
（2）①证明：设BG交AC于点M．
∵△BAD≌△CAF（已证），
∴∠ABM=∠GCM．
∵∠BMA=∠CMG，
∴△BMA∽△CMG．
∴∠BGC=∠BAC=90°．
∴BD⊥CF．…（6分）
②过点F作FN⊥AC于点N．
∵在正方形ADEF中，AD=DE= 2 ，
∴AE= AD2+DE2 =2，
∴AN=FN=1 2 AE=1．
∵在等腰直角△ABC 中，AB=4，
∴CN=AC-AN=3，BC= AB2+AC2 =4 2 ．
∴在Rt△FCN中，tan∠FCN=FN CN =1 3 ．
∴在Rt△ABM中，tan∠ABM=AM AB =tan∠FCN=1 3 ．
∴AM=1 3 AB=4 3 ．
∴CM=AC-AM=4-4 3 =8 3 ，BM= AB2+AM2 =4 10 3 ．…（9分）
∵△BMA∽△CMG，
∴BM BA =CM CG ．
∴4 10 3 4 =8 3 CG ．
∴CG=4 10 5 ．…（11分）
∴在Rt△BGC中，BG= BC2-CG2 =8 10 5 ．
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