如下图所示,由三角形ABC构造的两个六边形的面积哪一个大?为什么?
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 21:49:03
如下图所示,由三角形ABC构造的两个六边形的面积哪一个大?为什么?
如下图所示,由三角形ABC构造的两个六边形的面积哪一个大?为什么?
如下图所示,由三角形ABC构造的两个六边形的面积哪一个大?为什么?
一样大.设左边六边形顶点依此为DEFGHI,右边六边形顶点对应为D'E'F'G'H'I'S（三角形ADI）=1/2*AD*AI*sinA=1/2*b*c*sinAS（三角形AFG）=1/2*AF*AG*sinA=1/2*(a+c)*(b+a)*sinaA……由此可得S(六边形DEFGHI)=S（三角形ADI）+S（三角形AFG）+S（三角形BEF）+S（三角形BHI）+S（三角形CDE）+S（三角形CGH）=1/2*[sinA*(a^2+ab+ac+2bc)+sinB*(b^2+ab+bc+2ac)+sinC*(c^2+bc+ac+2ab)]同理S(六边形D'E'F'G'H'I')=1/2*[sinA*(a^2+b^2+c^2+2bc)+sinB*(a^2+b^2+c^2+2ac)+sinC*(a^2+b^2+c^2+2ab)]又正弦定理得a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R其中R为三角形外接圆的半径所以sinA=a/2R sinB=b/2R sinC=c/2RS(六边形DEFGHI)-S(六边形D'E'F'G'H'I')=1/2*[sinA*(ab+ac-b^2-c^2)+sinB*(ab+bc-a^2-c^2)+sinC*(ac+bc-a^2-b^2)]=1/2*[a/2R*(ab+ac-b^2-c^2)+b/2R*(ab+bc-a^2-c^2)+c/2R*(ac+bc-a^2-b^2)]=1/4R*[a^2b+a^2c-ab^2-ac^2+ab^2+b^2c-a^2b-bc^2+ac^2+bc^2-a^2c-b^2c]=0所以两个六边形面积一样大.