大一高数题,有关级数与微分方程.主要是不知道怎么证明,如果证明出来了,后面的知道怎么求的说...希望大家帮帮忙,谢谢~
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2024/11/16 14:51:21
大一高数题,有关级数与微分方程.主要是不知道怎么证明,如果证明出来了,后面的知道怎么求的说...希望大家帮帮忙,谢谢~
大一高数题,有关级数与微分方程.
主要是不知道怎么证明,如果证明出来了,后面的知道怎么求的说...希望大家帮帮忙,谢谢~
大一高数题,有关级数与微分方程.主要是不知道怎么证明,如果证明出来了,后面的知道怎么求的说...希望大家帮帮忙,谢谢~
将e^(2x)和e^(-2x)迈克劳林级数展开，然后相加，你会发现
y=1/2[e^(2x)+e^(-2x)]
而方程的通解为y=C1*e^x+C2*e^(-x)
将C1=C2=1/2就OK了
和函数为双曲型cosine函数：cosh(2x)=[exp(2x)+exp(-2x)]/2，
因为exp(2x)和exp(-2x)展开式中的奇数项相互抵消了。
当然，双曲型cosine函数满足题目中的微分方程。
y=Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!
y'=2·2n·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n)!
=2Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n-1)!
y''=2·2·(2n-1)·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-1)!
=4Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)!
y''-4y
...
全部展开
y=Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!
y'=2·2n·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n)!
=2Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-1)/(2n-1)!
y''=2·2·(2n-1)·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-1)!
=4Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)!
y''-4y
=4Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)! - 4·Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!
=4[Σ(n:0→∞)(2x)^(2n-2)/(2n-2)! - Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!]
=4·0
=0
y=Σ(n:0→∞)(2x)^(2n)/(2n)!=e^(2x)
根据e^x=Σ(n:0→∞)x^n/n!（简写形式。或者写成：1+Σ(n:1→∞)x^n/n!）
收起