高中数学圆锥曲线最值题设抛物线y^2=2px的焦点为F,坐标原点为O,曲线上任意一点为M,则MO/MF的最大值为多少,
来源：学生作业帮助网 编辑：六六作业网 时间：2025/01/14 01:58:32
高中数学圆锥曲线最值题设抛物线y^2=2px的焦点为F,坐标原点为O,曲线上任意一点为M,则MO/MF的最大值为多少,
高中数学圆锥曲线最值题
设抛物线y^2=2px的焦点为F,坐标原点为O,曲线上任意一点为M,则MO/MF的最大值为多少,
高中数学圆锥曲线最值题设抛物线y^2=2px的焦点为F,坐标原点为O,曲线上任意一点为M,则MO/MF的最大值为多少,
不妨设抛物线是y^2=2px.(p>0).焦点F(p/2,0),点M(2pt^2,2pt).(t≠0).
则d=|MO|^2/|MF|^2=-3(k-2/3)^2+4/3.(k=2/(1+4t^2)).
易知,当t^2=1/2时,dmax=4/3,
即(MO/MF)max=√(4/3)=2√3/3.
参考：
假设O为原点,抛物线方程为x^2=2py,其中p>0.那么根据抛物线的性质,M到F点的距离等于M到准线y=-p/2的距离,因此设M点坐标为(x,y),那么
MF=y+p/2,MO=根号(x^2+y^2),且x^2=2py,
所求 MO/MF
= 根号(x^2+y^2)/(y+p/2)
= 根号(2py+y^2)/(y+p/2),
简记为f(y).
对f(y)求导,得到
f(y)'=-2p(y-p) / (根号(y^2+2py) * (2y+p)^2)
令f(y)'=0,解得y=p.
容易验证当y=p时,MO/MF 有最大值 2*根号(3)/3.
设出点M，用距离公式表示MO MF,作商，求导，用单调性，一般在导数为0处
因为MF=x+p/2,设M(x，y）
MO^2=x^2+y^2=x^2+2px
(MO/MF)^2=1+(px-p^2/4)/(x+p/2)^2
设x+p/2=1/t
代入计算得原式=-3/4p^2t^2+pt+1
当t=2/3p时的最大值为4/3